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对离散点进行积分的python程序实现_绕开布朗运动，理解Ito积分（Part2）

对离散点进⾏积分的python程序实现_绕开布朗运动，理解Ito

积分（Part2）

本⽂承接笔者的上⼀篇⽂章绕开布朗运动，理解Ito积分 (Part 1).

Ito 公式

随机差分⽅程

我们讨论过对随机徘徊的“离散积分”之后，⾃然要讨论对随机徘徊的“离散微分”，即差分。

⾸先回顾⼀下我们对“离散布朗运动”——简单随机徘徊的构造：定义

for

, 其中

, ⽽

是⼀列独⽴同分布的随机变量，它们的均值为

, ⽅差为

. 我们选取

满⾜

事实上, 上述构造还可以写作:

上述⽅程事实上是⾼等数学（甚⾄是初等数学）中很常见的差分⽅程或者递推⽅程。只不过每⼀步加上了⼀个随机变量。这样的差分⽅程我们称为“随机差分⽅程”。在接下来的推导中，我们将延续使⽤上述记号。特别地，我们为了⽅便，后⾯总是取

李成梁

, 即所有微分⽅程都是从

时刻开始演化（⽆论是离散时间还是连续时间情形）

我们更加感兴趣的是⼀类略微复杂的问题：⽐如在⽣物化学实验中常见的凝胶电泳的体系中，带电的颗粒或⼤分⼦⼀⽅⾯在溶液中受碰撞产⽣的随机⼒驱动，另⼀⽅⾯受电极产⽣的、⾮随机的电场⼒的驱动。这样，在每⼀个⼩的时间间隔

内会产⽣两部分运动——确定运动和随机运动

其中

⾄多是

的函数. 从这⾥看出，确定⼒与随机⼒的⼀个很重要的区别就是：

确定⼒是

的，⽽随机⼒是

的！

这⼀点可以说是 Ito 公式，乃⾄整个布朗运动和随机微分、积分体系的关键⼀点。为了将上述 "

" 改成 "

", 我们将上述随机差分⽅程改写为" alt="其中

⾄多是

的函数. 从这⾥看出，确定⼒与随机⼒的⼀个很重要的区别就是：

确定⼒是

的，⽽随机⼒是

的！

这⼀点可以说是 Ito 公式，乃⾄整个布朗运动和随机微分、积分体系的关键⼀点。为了将上述 "

" 改成 "

", 我们将上述随机差分⽅程改写为

后⾯我们会看到，对于性质⾜光滑的⼀元函数

的函数将也满⾜上述形式.

随机差分⽅程的等价的离散积分形式及其连续极限

将上述⽅程两侧对

求和，可以得到⼀个等价的离散积分形式：

对于上述⽅程中右⼿侧 4 项当如下解读

: 初值

对函数

的普通积分的离散

: 对函数

的 Ito 积分的离散（即我们上⼀次定义的“离散积分形式”）

: 在

(or equivalently,

) 时趋于

的⼩量.

此时令

(或等价地雾霾污染

), 可以得到上述离散积分问题的连续极限形式

Ito过程. 只要 Ito 积分的严格数学定义明确，上述⽅程的数学意义就是明确的（相⽐于直接对随机差分⽅程取该过程被称为Ito过程

的极限得到

并认为

是“⽆穷⼩正态随机微元”⽽⾔），这事实上也是⼈们研究 Ito 积分的初衷之⼀。

Ito 公式

将来求随机解微分⽅程时，和在求解⼀般的微分⽅程问题时⼀样，我们有时可能会发现需要对

或

进⾏“换元”，变为

或

. 这时，⾃然就需要处理⼀个问题，就是

或者

梯度

. 这是 Ito 公式要解决的问题. 我们仍然从离散的情形⼊⼿

⾸先，在

时，由 Taylor 公式，我们有

也可以写成离散积分的形式

对应于连续的形式(

)

上述公式可简记为

丹阳李茂川自首可以看作是相应离散差分⽅程的连续极限形式. 对于确定性的⽅程，这是⼀个⾮常 trivial 的结论（等价于链式求导法则）.

但是对于

的随机微分⽅程，情况⼜是什么样⼦呢？我们仍然可以做 Taylor 展开

此时

所以

是⼀个

的量, ⽽不是

的量. 因此，我们不能简单地将⼆阶项

简单地甩到

中！事实上，我们再次经过 Taylor 展开

在 almost surely (a.s.) 的意义下等于 1, 整理上式得到

也可以写成离散积分的形式

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对应于连续的形式(

)

Ito公式，简记为

上述公式被称为Ito公式

可以看作是离散差分⽅程的连续极限形式. Ito 公式意味着链式求导法则不能简单地挪⽤到 Ito 过程中.

随机差分⽅程

我们考虑如下形式的随机差分⽅程

其中

和

是⾜够平滑的函数，⽽

等的定义继承前⾯的内容，我们希望得到形如

形式の表达式（即对

适应的随机过程）

例1: ⼀阶⾃回归过程（离散形式的 Ornstein-Uhlenbeck 过程）

对时间序列⽐较熟悉的朋友会⽐较了解⾃回归模型，它是⼀个⾮常精炼但适⽤⾯⾮常⼴泛的模型。我们这⾥暂不考虑回归分析问题，仅对系数确定的模型及其连续极限感兴趣，并为了⽅便，把⽬光集中在⼀阶⾃回归模型中。⼀阶⾃回归过程形式如下

其中

都是⼤于 0 的常数, 并且

给定. 我们可以通过简单的递推数列求解⽅法（或者算前若⼲项→猜表达式→数学归纳法证明）得到

的通项公式

当

⾜够⼩，使

时, 我们可以看到，

的⼤⼩受

的影响在指数衰减⾄0, ⽽越是靠近当前时刻的

, 对当前时刻位置

的影响权重越⼤，这也是⾃回归模型所具有的典型特征。

例2: 离散形式的⼏何布朗运动

两边同时除以

, 得到

于是容易得到其通项公式为

进⼀步地我们可以对其两边同时取对数

分析基础扎实的朋友们会想到在这⾥使⽤近似公式

从⽽得到⼀个在数学上形式更好的近似表达式。但是我们后⾯将看到，我们必须使⽤更⾼阶的近似

才能得到真正正确的结果.

随机微分⽅程

我们考虑如下形式的随机微分⽅程

其中

和

是⾜够平滑的函数。当然，上述⽅程的严格数学定义是

我们希望得到形如

形式的表达式（即对

适应的随机过程）

例1: Ornstein-Uhlenbeck 过程

Ornstein-Uhlenbeck 过程由如下随机微分⽅程描述

它有⼀个⽐较好的物理意义：⼀个粒⼦在做布朗运动，但同时⼜被⼀个位于坐标 0 点的吸引⼦吸引。对⽅程两侧同时乘以

凑微分, 得到

两边积分，⽴刻得到

这就是随机微分⽅程

的解. 事实上，这⼀解也是相应差分⽅程问题的解的连续极限: 取

我们看到了连续情形下

和离散的

有着很类似的性质：当前位置受距当前时刻近的时刻的位置的影响⽐较⼤，⽽初始时刻的信息随着时间的流逝⽽丢失。下⾯的数值算例将少林拳术秘诀

直观地展⽰这⼀点

% a stochastic simulation of OU process

% generate a Brownian Motion

clear; clc;

T = 3; % T: total time

N = 10000; % N: # of grids

t = linspace(0, T, N+1); % time grids

Dt = T / N; % Delta t, time step length

w = randn(1, N) * sqrt(Dt);

W = [0, cumsum(w)]; % W is the Brownian Motion (or small step random walk)

% parameters: gamma, sigm

gam = 4;

sigm = .3;

% OU processec with different initial value X0

OU = zeros(size(W));

for X0 = [1 0.5 0 -0.5 -1]

OU(1) = X0; % initial value

for j = 1 : N % discrete solvation

OU(j+1) = OU(j) * (1 - gam * Dt) + sigm * w(j);

end

plot(t, OU); hold on

end

xlabel('t'); ylabel('X');

上述代码中，我们选择了

为

进⾏轨道模拟，结果显⽰，初始时刻的信息随着时间的流逝⽽丢失，所有轨道最终趋于重合。

OU 过程的轨道模拟

例2: 离散形式的⼏何布朗运动

⼏何布朗运动通常在⾦融中⽤于描述证券价格，它有⼀个稳定的利率

但价格同时受市场波动影响，敏感度为

. 这样⼀个过程可以⽤如下微分⽅程来描述

这⾥

和

本文发布于:2024-09-21 22:20:40，感谢您对本站的认可！

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