2020年高考复习数学-抛物线及几何性质

第十一章圆锥曲线

1、抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。

注：当定点F在定直线时，动点的轨迹是过点F与直线垂直的直线。

2、抛物线的标准方程和几何性质

国家燃烧

标准方程	y2＝2px (p>0)	y2＝－2px(p>0)	x2＝2py (p>0)	x2＝－2py(p>0)
标准方程	p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点	O(0,0)
对称轴	y＝0	y＝0	x＝0	x＝0
焦点	F	F	F	F
离心率	e＝1
准线方程	x＝－	x＝	y＝－	y＝
范围	x≥0，y∈R	x≤0，y∈R	y≥0，x∈R	y≤0，x∈R
焦半径	x0＋	－x0＋	y0＋	－y0＋
焦点弦	x1＋x2＋p	p—(x1＋x2）	y1＋y2＋p	P—(y1＋y2）

3、焦点弦的相关结论

以抛物线y2＝2px(p＞0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：

（1）x1x2＝，y1y2＝－p2；

（2）|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；

（3）＋＝为定值；

（4）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；

（5）以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；

（6）以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；

（7）A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线；

（8）点差法：已知弦AB中点，则弦AB的斜率。

突破点一　抛物线的定义及其应用

例1 1、抛物线y＝x2的准线方程是(　A　)

A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2

2、已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则抛物线的方程是_y2＝－22x__．

3、抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　B )

A．4 B．8 C．16 D．32

4、点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是(　D　)

A．x2＝y B．x2＝y或x2＝－y C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y

5、已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为___y2＝－8x或x2＝－y_____．

6、已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝____1____.

7、若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　B　)

A. 　 B.br715 　C. 　D．0

8、已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A(0，－)．若线段FA与抛物线C相交于点M，则|MF|＝(　A　)

A. B. C. D.

解析：选A　由题意，F(1,0)，|AF|＝2，设|MF|＝d，则M到准线的距离为d，M的横坐标为d－1，由三角形相似，可得＝，所以d＝，故选A.

9、若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　B　)

A. B．1 C. D．2

例2 1、已知动点P到定点(2,0)的距离和它到直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为___y2＝8x____．

2、动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__y2＝4x______.

3、已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是(　C　)

A.2 B. C. D.

4、过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　B　)

A．9 B．8 C．7 D．6

5、已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．

突破点二　抛物线的性质和综合应用

例3 1、抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为(　B　)

A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝

2、(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝____6____.

解：如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.

解：由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.

3、(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　B　)

A．2 B．4 C．6 D．8

解：设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.

∵|AB|＝4，|DE|＝2，抛物线的准线方程为x＝－，∴不妨设A，D.

∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．

∴C的焦点到准线的距离为4.

4、如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　D　)

A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x

解：分别过点A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BB1|，所以∠BCB1＝30°.又|AA1|＝|AF|＝3，所以|AC|＝2|AA1|＝6，所以|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，所以F为线段AC的中点．故点F到准线的距离为p＝|AA1|＝，故抛物线的方程为y2＝3x.

5、已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于点N，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝(　C　)

A．2 B．3 C. D.

解：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝.故选C.

6、(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　D　)

A．5 B．6 C．7 D．8

解：法一：过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，所以·＝8.故选D.

法二：过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＞0，y2＞0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.

例41、(2017·全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.

(1)求直线AB的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y易切削不锈钢2＝，中知网x1＋x2＝4，直线AB的斜率k＝＝＝1.

(2)由 y＝，得y′＝.设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．

设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.

将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2.

从而|AB|＝|x1－x2|＝4.由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.

所以直线AB的方程为y＝x＋7.

2、已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．

(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；

(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．

[解]　(1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p.∴S△ABD＝p2，∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.

(2)设直线AB的方程为y＝kx＋，由得x2－2kpx－p2＝0，∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.

其中A，B.∴M，N.

∴kAN＝＝＝＝＝.

又x2＝2py，∴y′＝.∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝.∴直线AN与抛物线相切．

3、(2019·全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．

（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；

（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│-│MP│为定值？并说明理由．

解：（1）因为过点，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上，且关于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设.

因为与直线x+2=0相切，所以的半径为.

由已知得，又，故可得，解得或.

故的半径或.

（2）存在定点，使得为定值.

理由如下：

设，由已知得的半径为.

由于，故可得，化简得M的轨迹方程为.

因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以.

因为，所以存在满足条件的定点P.

课后训练

1、抛物线y＝2x2的准线方程是(　D　)

A．x＝ B．x＝－ C．y＝ D．y＝－

2、已知抛物线y＝px2(其中p为常数)经过点A(1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于(　D )

A. B. C. D.

3、已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　D　)

A．y2＝±2x B．y2＝±2x C．y2＝±4x D．y2＝±4x

4、若抛物线x2＝4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n＝(　D　)

A． B． C．3 D．4

5、设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为(　B　)

A．相离巴山舞 B．相切 C．相交但不经过圆心 D．相交且经过圆心

6、抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P是C上一点，若P到F的距离是P到y轴距离的两倍，且△OPF的面积为1(O为坐标原点)，则p的值为(　B　)

A．1 B．2 C．3 D．4

7、(2016·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　D　)

A. B．1 C. D．2

8、已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于(　B　)

A. B. C. D.

解析：选B　由抛物线y2＝4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1，由抛物线定义可知|PA|＝|PF|＝4，所以点P的坐标为(3,2)，因此点A的坐标为(－1，2)，所以kAF＝＝－，所以直线AF的倾斜角等于，故选B.

9、过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|＝4，则M到直线NF的距离为(　B　)

A. B．2 C．3 D．2

解析：选B　∵直线MF的斜率为，MN⊥l，∴∠NMF＝60°，又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，∴△NMF是边长为4的等边三角形，∴M到直线NF的距离为2.故选B.

10、设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为(　C　)

A．y＝x－1或y＝－x＋1 B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)

C．y＝(x－1)或y＝－(x－1) D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)

解析：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M.设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.由BB1∥AA1可知＝，即＝，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m.故∠AMA1＝30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，结合选项知选C项．