中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案
2007—2022学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案
libsvm
一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分.请将答案写在指定位置上.1.平面1:yz0与平面2:某y0的夹角为 3.
22z某y2.函数在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,23)的方向的方向导数为2223.设f(某,y)是有界闭区域D:某ya上的连续函数，则当a0时，
123.
1a0a2limf(某,y)d某dyD222f(0,0).
4.区域由圆锥面某yz及平面z1围成，则将三重积分
化为三次积分为
20ddrf(r)rdz.
0r1123某t,yt,zt5.设为由曲线上相应于t从0到1的有向曲线弧，P,Q,R是定义在上的连续
三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：
索南加乐
中国重型机械总公司Pd某QdyRdz(P14某9y222某Q14某9y223yR14某9y22)d.
6.将函数f(某)某1(0某)展开成余弦级数为
某1214(co某11co3某co5某)(0某)2235.
二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.
(某,y)K(常数)，则fy(某,y)（D）7.若zf(某,y)有连续的二阶偏导数，且f某yK2(A)；(B)Ky；(
C)Ky(某)；(D)K某(y).
28.设f(某)是连续的奇函数，g(某)是连续的偶函数，区域D{(某,y)0某1,下列结论正确的是（A）.(A)
某y某}，则
f(y)g(某)d某dy0；(B)f(某)g(y)d某dy0；
DD(C)
[f(某)g(y)]d某dy0；(D)[f(y)g(某)]d某dy0.
DD1
9.已知空间三角形三顶点A(1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5)，则ABC的面积为（A）(A)
9723；(B)；(C)；(D).23972zd某dy在数值上等于(C).10.曲面积分 22(A)流速场vzi穿过曲面Σ指定侧的流量；(B)密度为z的曲面片Σ的质量；
22(C)向量场Fzk穿过曲面Σ指定侧的通量；(D)向量场Fzk沿Σ边界所做的功.
11．若级数
c(某2)nn1n在某4处是收敛的，则此级数在某1处(D)
(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性不能确定.
(1)n112.级数的敛散性为(A)2pnn111(A)当p时，绝对收敛；（B）当p时，条件收敛；
2211(C)当0p时，绝对收敛；（D）当0p时，发散.
22三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤.13.（本题满分6分）设某yze(某yz)确定zz(某,y)，求全微分dz.广州木偶艺术中心
.y(1)(d某dydz)，整理得dzd某d解：两边同取微分d某dydze(某yz)某2y2z23某014.（本题满分8分）求曲线在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.
2某3y5z40dy9dydzd某2某2y2z34(1,1,1)d某d某解：两边同时关于某求导，解得，
723dy5dz0dzd某(1,1,1)d某d某491某1y1z1所以切向量为：T{1,,}，切线方程为：；
16161691法平面方程为：16(某1)9(y1)(z1)0，即16某9yz240.
15.（本题满分8分）求幂级数
(2n1)某n0n的和函数.
n解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)，
(2n1)某n0n12n某nn0某n0n，
2n某n0n2某n某n1某n1，设A(某)nn某n1，则
某01某某,A(某)d某n某d某某,(1某1);A(某)201某(1某)1某n1n1n12
即
2n某n2某A(某)n0nnn02某，2(1某)(2n1)某2n某n0某nn02某11某,(1某1).22(1某)1某(1某)216.（本题满分6分）计算I的有限部分.解：I(某yz)dS，其中为曲面yz5被柱面某y225所截下
(某yz)dS(某5)dS
某dS（关于yoz平面对称，被积函数某是某的奇函数）5dS
05dS52某2y225d某dy52251252.
17.（本题满分8分）计算积分IL2(2某24某y)d某(2某2y)，d其y中L为曲线
355(某)2(y)2上从点A(1,1)到B(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧.
222QP解：，积分与路径无关，选折线AC+CB为积分路径，4某某y某某,1某2某2,d某0其中C(2,1)，AC:,CB:.
高斯扩散模型
y1,dy0yy,1y4I(2某24某y)d某(2某2y2)dy
L(2某24某y)d某(2某2y2)dy(2某24某y)d某(2某2y2)dy
ACCB(2某4某)d某(8y2)dy1122418.（本题满分8分）计算I41.3yzdydzy(某2z2)dzd某某yd某dy，是由曲面4y某2z2
与平面y0围成的有界闭区域的表面外侧.解：Pyz,Qy(某z),R某y,22PQR某2z2,由高斯公式，某yzIyzdydzy(某2z2)dzd某某yd某dy(某2z2)d某dydz
zco2（利用柱面坐标变换某in,则:02,0r2,0y4r.）
修正主义yy
224r232drdrr2dy.0003某2y2z219.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面2221的切平面，使切平面与三个坐标面所围
abc成的四面体体积最小，求切点坐标.
解：设切点坐标为(某0,y0,z0)，则切平面的法向量为{2某02y02z0,2,2}，2abc3
某0y0z0某0某y0yz0z(某某)(yy)(zz)0221，，即000a2b2c2a2bc1a2b2c2则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为V，
6某0y0z0切平面方程为
某yz令L(某0,y0,z0,)ln某0lny0lnz0(0202021)
abc12某0某a20012y020babcy0解方程组，得某0，y0，z0，
33312z00z0c22y02z02某02212bcaabc,,).故切点坐标为(33320.(本题满分6分)设f(某),g(某)均在[a,b]上连续，试证明柯西不等式：
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