广东省广州市华南师大附中2021-2022学年高一下学期期中
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数满足(3i)(2i)5i a b ++-=+，则a b +等于（ ） A ．4-
B ．7
C ．8-
D ．5
2．在四边形ABCD 中，AC AB AD =+，则一定有（ ） A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形
3．若三角形的三边长分别是3，4，6，则这个三角形的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定
4．若p 与q 是相反向量，且p =3，则p q ⋅等于（ ） A ．9中医美容论文
B ．0
C ．-3
D ．-9
5．已知圆锥的表面积等于227cm π，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（ ） A ．1cm B ．2cm
C ．3cm
D ．3
c m 2
6．已知m ，n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//,//,//m n αβαβ，则//m n B ．若//,//,m m n αβαβ⋂=，则//m n C ．若//,//αβn n ，则//αβ
D ．若//,m n n α⊂，则//m α
7．将函数sin2y x x =的图象沿x 轴向左平移(0)ϕϕ>个单位后，得到关于y 轴对称的图象，则ϕ的最小值为（ ） A ． 12
π B ．
6
π C ．
4
π D ．
李博祥512
π 8．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊
的悬链线函数.其函数表达式为cosh 2
x x e e x -+=，相应的双曲正弦函数的表达式为
sinh 2x x e e x --=
.设函数()sinh cosh x f x x =，若实数m 满足不等式()2
0(23)f m f m -++>，则m 的取值范围为（ ） A ．()1,3-
B ．()3,1-
C ．()3,3-
D ．()(),31,-∞-⋃+∞
二、多选题
9．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（ ） A ．圆锥
B ．圆柱
C ．棱锥
D ．正方体
10．已知向量a ，b 满足||1a =，||2b =，||3a b +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．2a b ⋅=- B ．()a a b ⊥+ C ．||7a b -=
D ．a 与b 的夹角为
3
π 11．对于ABC ，有如下命题，其中正确的有（ ） A ．若ABC 是锐角三角形，则不等式sin cos A B >恒成立 B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形
C ．若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为锐角三角形
D ．若2||⋅>AC AB AB ，则ABC 为钝角三角形
12．筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).
现有一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d (单位：米)(在水面下则d 为负数)，若以盛水筒P 刚浮出水面为初始时刻，经过t 秒后，下列命题正确的是（ ）(参考数据：2
cos 483
≈
) A ．23sin 30d t πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，其中2sin 3θ=，且0,2πθ⎛⎫3天内三位著名音乐家相继逝世
∈ ⎪⎝⎭
B ．23sin 30d t πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
，其中2sin 3θ=，且0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
C ．当38t ≈时，盛水筒P 再次进入水中
D ．当22t ≈时，盛水筒P 到达最高点
三、填空题
13．已知i 为虚数单位，复数2i z =-，则z z ⋅=____________．
14．一水平放置的平面四边形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图O ′A ′B ′C ′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC 面积为________.
15．在ABC 中，π3B =，2AB =，D 为AB 的中点，BCD △AC =______________．
16．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点 E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点（包含边界），若 1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是 _________ .
四、解答题
高斯扩散模型17．已知i 是虚数单位，复数()()22
1i z m m m =---，m ∈R .
(1)当复数z 为实数时，求m 的值； (2)当复数z 纯虚数时，求m 的值. 18．已知向量()1,2a =r
，()3,4b =．
(1)当实数k 为何值时，向量ka b +与2a b -r r
垂直；
(2)若23AB a b =-，BC ma b =+，且A 、B 、C 三点共线，求实数m 的值．
19．已知函数()3tan 64x f x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭．
(1)求()f x 的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较()f π与112
π
⎛⎫
⎪⎝⎭
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f 的大小． 20．如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB PC 、的三等分点（M 靠近B ，N 靠近C ）；
(1)求证：//MN 平面PAD ．
(2)在PB 上确定一点Q ，使平面//MNQ 平面PAD ．
21．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是6 ECF π
∠=
，点,E F 在直径AB 上，且6
ABC π
∠=
．
（1）若CE =AE 的长；
（2）设ACE α∠=, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
22．已知函数()()
2log 21x
f x ax x R =++∈，
（1）若()f x 时偶函数，求实数a 的值；
（2）当0a >时，不等式(sin )(4)0f x x f t -+≥，对任意的233x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，恒成立，
求实数t 的取值范围.
（3）当0a >时，关于x 的方程()4()(1)log 211x
f f x a x ⎡⎤-+--=⎣⎦在区间[]12，
恰有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围.
答案第1页，共13页
参考答案：
1．D
【分析】根据复数代数形式的加法及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为(3i)(2i)5i a b ++-=+
即(2)2i 5i a b ++=+，所以25
2a b +=⎧⎨=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩
，
所以5a b +=； 故选：D 2．D
【分析】根据向量的线性运算可得AD BC =，进而可得AD BC =且//AD BC 即可求解. 【详解】因为AC AB AD =+，所以AD AC AB BC =-=， 即AD BC =且//AD BC ，
所以四边形ABCD 的一组对边平行且相等， 所以四边形ABCD 是平行四边形， 故选：D. 3．B
【分析】根据大边对大角，得到边长为6的边所对的角为最大角，利用余弦定理求出cos 0θ<，得到这个三角形是钝角三角形.
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【详解】大边对大角，故边长为6的边所对的角为最大角，设为θ， 则91636
cos 0234
θ+-=
<⨯⨯，
故θ为钝角，所以这个三角形是钝角三角形. 故选：B 4．D
【分析】直接根据向量的数量积公式求解即可. 【详解】由已知得cos18033p q p q ⋅=︒=⨯⨯(-1)=-9 故选：D 5．C
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ，利用侧面展开图是一个半圆，求得l 与r 之间的关系，代入表面积公式即可得解.
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