（Research Of Fraunhofer Single Slot Diffraction Of Light Intensity Distribution）
摘要：我们在光学中学习了有关夫琅禾费单缝衍射和圆孔衍射的内容，本文主要是对夫琅禾费单缝衍射光强的计算公式进行数学推导以及拓展，并且根据推导的数学公式对夫琅禾费单缝衍射光强分布情况进行讨论，对夫琅禾费单缝衍射的特点进行分析介绍。
关键词：夫琅禾费单缝衍射（白马湖之冬Fraunhofer single slot diffraction）、光强（Light intensity）、光强分布（Light intensity distribution能源开发）、最大值（Maximum）
引言：光的衍射是光的波动性的重要现象之一。衍射现象即波在传播过程中不沿直线传播，而是向各方向绕射的现象。而光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强分布不均匀的现象，称为光的衍射。在衍射现象中，把平行光束的衍射现象，称为夫琅禾费衍射。夫琅禾费衍射在光学研究中有着重要意义，它主要包括单缝衍射、圆孔衍射。这里我重点介绍夫琅禾费单缝衍射的光强分布特点。 一、夫琅禾费单缝衍射实验装置与衍射图样的特点。
所谓夫琅禾费衍射是指光源、衍射屏和观察屏三者之间都是相距无限远的衍射情况。即相当于入射光和衍射光都是平行的情况。在这种情况下计算衍射花样中光强的分布时，数学运算就比较简单。所谓光源在无限远，实际上就是把光源置于第一个透镜的焦平面上，使之成为平行光束；所谓观察角在无限远，实际上是在第二个透镜的焦平面上观察衍射花样。由于透镜的会聚，衍射花样的光强将比菲涅耳衍射花样的光强大大增加。夫琅禾费单缝衍射包含着衍射现象的许多主要特征。夫琅禾费单缝衍射光路图如下图所示：
夫琅禾费单缝衍射图样的主要特点如下：
（1）中央有一条特别明亮的亮条纹，其宽度是其他亮条纹的两倍；其他亮条纹的宽度相等，
亮度逐渐下降。
（2）单缝越小，条纹越宽（即衍射越厉害）。
（3）波长越大，条纹越宽。
梁涛
二、夫琅禾费单缝衍射强度的数学推导。
现在用惠更斯—菲涅尔原理来解释上述现象。图二为上图装置的右半部。平行光束垂直于缝的平面入射时，波面和缝平面重合（垂直于图面）。将缝分为一组平行于缝长的窄带，从每一条这样的窄带发出次波的振幅正比于窄带的宽度dx。
设光波的初相位为0，单缝的宽度AB=b，为整个狭缝所发出的次波在=0的方向上的合振幅。则狭缝各处窄带所发次波的振动可表示为：
d汉字输入码=cost ……………… ⑴
在图二中，MN为衍射角等于的任一条光线。令AM=x，则MN=x，这就分别从M和A两点发出的次波沿与MN平行的方向到达平面AC时的光程差。于是由惠更斯—菲涅尔衍射积分式：
…… ⑵
得沿着MN方向传播的次波，在到达N点时，光振动应表示为：
（其中k=是波数） …… ⑶
或 ………… ⑷
其复振幅为 ………… ⑸
如果从N到P的光程为，那么P点的振动可表示为：
…… ⑹
用复数表达则为： ………… ⑺
从狭缝平面所有各点出发的次波到达P点并叠加，由⑵式得合振动即取决于⑺从x=0到x=b的积分 …… ⑻
因从AC平面上各点到达P点的光程都相等且与x无关，又因也是常量，故⑻式中和可提到积分号前面。一般来说，光程是衍射角的函数，但因缝很窄，可以近似认为无论沿哪个方向传播的次波，到达P点都有相同的振幅，即与近似无关。这样
=
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= ⑼
应用欧拉公式 其中
最后得合振动（未乘因子）为：
= ⑽
复数因子表示合振动的相位。它虽然随而变，但与光强的分布无关，衍射图样只取决于合振幅。最后可得衍射角为θ的所有次波在观察点P叠加起来的合振幅：
…… ⑾
令，故P点的光强为
………… ⑿
此式即为夫琅禾费单缝衍射光强分布公式。
三、夫琅禾费单缝衍射图样的光强分布。
当光屏放置在透镜的焦平面上时，屏上出现衍射图样，光屏的分布可由⑿式决定。首先来决定衍射图样中光强最大值和最小值的位置。即求出满足光强的一阶导数为零的那些点：
由此得 ， …………………… ⒀
分别解以上两式，可得出所有的极值点。
1、单缝衍射中央最大值的位置
由，解得满足的那个方向，即
（中央最大值的位置） …… ⒁
也就是在焦点处，，光强为最大。
2、单缝衍射最小值的位置
由，解得满足的一些衍射方向，即
（）（最小值位置） …… ⒂
时，为零，屏上这些点是暗的。
3、单缝衍射次最大的位置
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在每两个相邻最小值之间有一最大值，这些最大值的位置可有超越方程u=tanu解得。我们
可以用图解法求得u的值。如下图，作直线y=u和正切曲线y=tanu，两者交点就是这个超越方程的解：
，，，，，…
由此可得分列于中央主最大两边的其他最大值（称为次最大）的位置为：
…………………… ⒃
把这些θ值代入⑿式，便可得各级次最大值的相对光强。
四、夫琅禾费单缝衍射图样的光强分布特点。
1、各级最大值的光强不相等，随着级数k的增大而很快地减小。中央最大值的光强最大，次最大值都远小于中央最大值，即。
2、规定亮条纹到透镜中心所长的角称为角宽度。在近轴条件下，θ很小，，由暗纹的角位置公式，中央亮条纹在之间，其半角宽度可近似地写为： ………………… ⒄
若透镜的焦距为，则光屏上所得中央亮条纹的线宽度为： ……………… ⒅
而次最大亮纹的角宽度为： ……………… ⒆
由此可见，中央亮条纹的角宽度是其他亮条纹的2倍。
3、最小值处形成的每一侧的暗纹是等间距的，而次最大值彼此则是不等间距的。
4、若用白光做光源，中心部分是白的，其余各级为彩条纹。
5、中央最大值的半角宽度与波长成正比，与缝宽b成反比，即
…………………… ⒇
上式又称为衍射反比律。此式表明，只有在，即的条件下，衍射现象才可忽略不计；反之，波长越大或缝宽越小，衍射现象就越显著。
衍射反比律反映了障碍物与光波之间限制和扩展的辩证关系限制范围小，扩展现象越明显；在哪个方向上限制，就在那个方向扩展。其次，它包含着“放大”，缝宽越小，就越大。不过这不是通常的几何放大，而是一种光学变换放大，这正是激光测径和衍射用于物质结构分析的基本原理。
参考文献：
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[2]章志鸣.光学[M].2000年6月,高等教育出版社,第二版
[3]谢嘉宁等.夫琅禾费衍射的计算机仿真[J].大学物理,第23卷第3期
[4]赵凯华.新概念物理教程—光学[M].2004年11月,高等教育出版社,第一版
[5]钟锡华.现代光学基础[M].2004年,北京大学出版社,第一版
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