㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１９ ２２
开区间套 的充要条件及其证明与推广Һ胡力文㊀(华东师范大学ꎬ上海㊀２００２４１)
㊀㊀ʌ摘要ɔ本文在闭区间套定理的基础上ꎬ通过笔者的研究发现ꎬ给出了 开区间套 能够 套 出唯一的一点的充分必要条件(即文中的 开区间套定理 )以及它的证明ꎬ并且把这一定理推广到了高维情形. ʌ关键词ɔ开区间套ꎻ开区间套定理ꎻ开域套ꎻ开域套定理
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在 数学分析 课程中我们已经知道ꎬ实数集Ｒ具有一种特性ꎬ通常称为完备性或连续性ꎬ而有理数集Ｑ却不具备这种特性.实数的完备性使得极限理论乃至整个分析理论能建立在坚实的基础之上.为了描述实数的完备性ꎬ我们有６条等价的定理ꎬ称为实数的完备性定理ꎬ它们分别是确界原理㊁柯西收敛准则㊁单调有界定理㊁闭区间套定理㊁聚点定理和有限覆盖定理.本文将从闭区间套定理出发ꎬ给出 开区间套定理 ꎬ并且把它推广为高维情形下的 开域套定理 . 一㊁一维情形下的讨论
定义１㊀设闭区间列{[ａｎꎬｂｎ]}具有如下性质:(ⅰ)[ａｎꎬｂｎ]⊇[ａｎ＋１ꎬｂｎ＋１]ꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎻ(ⅱ)ｌｉｍｎңɕ
(ｂｎ－ａｎ)＝０ꎬ
则称{[ａｎꎬｂｎ]}为闭区间套ꎬ或简称区间套.
这里性质(ⅰ)表明ꎬ构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个ꎬ即各闭区间的端点满足如下不等式:ａ１ɤａ２ɤ ɤａｎɤ ɤｂｎɤ ɤｂ２ɤｂ１.
定理１㊀(闭区间套定理)若{[ａｎꎬｂｎ]}是一个闭区间
套ꎬ则在实数系中存在唯一的一点ξꎬ使得ξɪ[ａｎꎬｂｎ]ꎬｎ＝
１ꎬ２ꎬ ꎬ即ａｎɤξɤｂｎꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ (参看[１]).
推论１㊀若ξɪ[ａｎꎬｂｎ](ｎ＝１ꎬ２ꎬ )是闭区间套{[ａｎꎬ
ｂｎ]}所确定的点ꎬ则对任给的ε>０ꎬ存在Ｎ>０ꎬ使得当ｎ>Ｎ时有[ａｎꎬｂｎ]⊂Ｕ(ξꎻε)(参看[１]).
定义２㊀设开区间列{(ａｎꎬｂｎ)}具有定义１中的性质(ⅰ)和(ⅱ)ꎬ则称{(ａｎꎬｂｎ)}为开区间套.
闭区间套定理中要求各个区间都是闭区间ꎬ才能保证
定理的结论成立.对开区间套ꎬ如
０ꎬ
１
ｎ
(
平南实验中学){}ꎬ就不存在属于
所有开区间的公共点.但是ꎬ开区间套
－１ｎꎬ１中医可以哪些男科疾病
ｎ
(){}又可以 套 出唯一的一点ξ＝０.我们自然要问ꎬ怎样的开区间套才可以 套 出属于所有开区间的公共点?[１]第１６８页的一道习题给出了一个充分条件:
定理２㊀设{(ａｎꎬｂｎ)}是一个严格开区间套ꎬ即满足ａ１<ａ２< <ａｎ< <ｂｎ< <ｂ２<ｂ１ꎬ
且ｌｉｍｎңɕ
(ｂｎ－ａｎ)＝０ꎬ则存在唯一的一点ξꎬ使得ａｎ<
ξ<ｂｎꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ .
显然 严格开区间套 这样的条件太强了.那么ꎬ我们能不能把条件放宽ꎬ甚至给出充要条件呢?笔者经过自己的一番研究ꎬ给出了两个充要条件ꎬ就是下面的开区间套定理:
定理３㊀(开区间套定理)设{(ａｎꎬｂｎ)}是一个开区间套ꎬ则如下三个命题等价:①存在唯一的一点ξꎬ使得ξɪ(ａｎꎬｂｎ)ꎬ即ａｎ<ξ<ｂｎꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎻ
②左端点数列{ａｎ}包含一个严格递增子列{ａｎｋ
}ꎬ并且
右端点数列{ｂｎ}包含一个严格递减子列{ｂｎｌ
ᶄ}ꎻ③开区间套{(ａｎꎬｂｎ)}包含一个严格开区间子套{(ａｎｋ
ꎬｂｎｋ
)}.
证明㊀由闭区间套定理ꎬ存在唯一的一点ξꎬ使得ａｎɤ
ξɤｂｎꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ .如果命题①成立ꎬ则显然开区间套{(ａｎꎬｂｎ)}所确定的那一点就是闭区间套{[ａｎꎬｂｎ]}所确定的那一点ξ.
①⇒②：令ｎ１＝１ꎻ取ε１＝ξ－ａｎ１
>０ꎬ由推论１ꎬ存在ｎ２>ｎ１ꎬ使得ａｎ２
>ξ－
ε１＝ａｎ１
ꎻ
取ε２＝ξ－ａｎ２
>０ꎬ由推论１ꎬ存在ｎ３>ｎ２ꎬ使得ａｎ３
>ξ－
ε２＝ａｎ２
ꎻ
如此不断继续ꎬ得到左端点数列{ａｎ}的一个严格递增子列{ａｎｋ
}.
同理可证右端点数列{ｂｎ}含有一个严格递减子列
㊀㊀
㊀㊀数学学习与研究㊀２０１９ ２２
{ｂｎｌ
ᶄ}.
②⇒③：令ｍ１＝１ꎻ
由于②成立ꎬ因此ꎬ一定存在某个ｎｋ>ｍ１ꎬ使得ａｎｋ
>
ａｍ１
ꎬ也存在某个ｎｌᶄ>ｍ１ꎬ使得ｂｎｌ
ᶄ<ｂｍ１
.令ｍ２＝ｍａｘ{ｎｋꎬｎｌᶄ}>ｍ１ꎬ则(ａｍ２
ꎬｂｍ２
)严格内含于(ａｍ１
ꎬｂｍ１
)ꎻ(注: 严格内
含 指内含且没有公共端点.)同理可证ꎬ一定存在自然数ｍ３>ｍ２ꎬ使得(ａｍ３
ꎬｂｍ３
)严
格内含于(ａｍ２
ꎬｂｍ２
云梯杰克逊)ꎻ
如此不断继续ꎬ得到开区间套{(ａｎꎬｂｎ)}的一个严格开区间子套{(ａｍｋ
ꎬｂｍｋ
)}ꎬ所以③成立.
③⇒①：由于③成立ꎬ因此ꎬ对任意的ｎɪＮꎬ一定存在
自然数ｍ>ｎꎬ使得(ａｍꎬｂｍ)严格内含于(ａｎꎬｂｎ)ꎬ于是就有ａｎ<ａｍɤξꎬｂｎ>ｂｍȡξꎬ即ａｎ<ξ<ｂｎ.由ｎ的任意性可知①成立.
二㊁定理向高维情形的推广
一维情形下的 闭区间套定理 可以推广为高维情形下的 闭域套定理 .类似地ꎬ 开区间套定理 也可以推广为 开域套定理 .这一节就将从 闭域套定理 出发ꎬ来实现 开区间套定理 向 开域套定理 的推广.
定义３㊀设{Ｄｎ}是Ｒｍ中的闭域列ꎬ它满足:(ⅰ)Ｄｎ⊇Ｄｎ＋１ꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎻ
(ⅱ)ｄｎ＝ｄ(Ｄｎ)ꎬｌｉｍｎңɕ
ｄｎ＝０ꎬ
则称{Ｄｎ}是Ｒｍ中的闭域套.
定义４㊀设{Ｅｎ}是Ｒｍ中的开域列ꎬ它同时满足定义３中的条件(ⅰ)和(ⅱ)ꎬ则称{Ｅｎ}是Ｒｍ中的开域套.
定义５㊀设{Ｅｎ}是Ｒｍ中的开域套ꎬ如果它还满足对任
新标准英语第七册意的ｎɪＮꎬＥｎ＋１严格内含(即内含且没有公共边界点)于Ｅｎꎬ则称{Ｅｎ}是Ｒｍ中的严格开域套.
定理４㊀(闭域套定理)设{Ｄｎ}是Ｒｍ中的闭域套ꎬ则存在唯一的一点Ｐ０ɪＤｎꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ (参看[２]).
移动彩信平台推论２㊀若Ｐ０ɪＤｎ(ｎ＝１ꎬ２ꎬ )是闭域套{Ｄｎ}所确定
的点ꎬ则对任给的ε>０ꎬ存在Ｎ>０ꎬ使得当ｎ>Ｎ时有Ｄｎ⊂Ｕ(Ｐ０ꎻε).
接下来就要对 开区间套定理 进行推广了.和 确界原理 与 单调有界定理 的情况类似ꎬ 开区间套定理 中的命题②也无法直接推广.
定理５㊀(开域套定理)设{Ｅｎ}是Ｒｍ中的一个开域套ꎬ则如下两个命题等价:
①存在唯一的一点Ｐ０ɪＥｎꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎻ
②开域套{Ｅｎ}包含一个严格开域子套{Ｅｎｋ
}.
证明㊀设Ｄｎ＝Ｅｎ表示开域Ｅｎ的闭包.由闭域套定理ꎬ存在唯一的一点Ｐ０ɪＤｎꎬｎ＝１ꎬ２ꎬ .如果命题①成立ꎬ则显然开域套{Ｅｎ}所确定的那一点就是闭域套{Ｄｎ}所确定的那一点Ｐ０.
①⇒②：令ｎ１＝１.
取ε１＝ｄ(Ｐ０ꎬ∂Ｅｎ１
)表示点Ｐ０到开域Ｅｎ１
的边界的(最
短)距离(由开集的定义知它一定大于０)ꎬ由推论２ꎬ可知存在ｎ２>ｎ１ꎬ使得Ｅｎ２
⊂Ｄｎ２
⊂Ｕ(Ｐ０ꎬε１)ꎬ则Ｅｎ２
严格内含于Ｅｎ１
ꎻ
取ε２＝ｄ(Ｐ０ꎬ∂Ｅｎ２
)>０ꎬ由推论２ꎬ可知存在ｎ３>ｎ２ꎬ使
得Ｅｎ３
⊂Ｄｎ３
⊂Ｕ(Ｐ０ꎬε２)ꎬ则Ｅｎ３
严格内含于Ｅｎ２
ꎻ
如此不断继续ꎬ得到开域套{Ｅｎ}的一个严格开域子套{Ｅｎｋ
}.
②⇒①：由于②成立ꎬ因此ꎬ对任意的ｎɪＮꎬ一定存在自然数ｍ>ｎꎬ使得
Ｅｍ严格内含于Ｅｎꎬ由开集的性质可知Ｅｍ的闭包Ｄｍ
也严格内含于Ｅｎꎬ从而Ｐ０ɪＤｍ⊂Ｅｎ.由ｎ的任意性可知①成立.
更一般地ꎬ和 闭 的情形类似ꎬ 开区间套定理 和 开域套定理 还可以推广为 开集套定理 ꎬ只需把定理５中的 开域 都换成 开集 即可ꎬ证明过程也完全一样ꎬ这里就不详细讨论了.
三㊁结语：一点感悟
数学分析 是高校数学系本科阶段的一门专业基础课ꎬ本身的理论已经相当完善ꎬ不再是一个专门的研究方向了.但是ꎬ我们在学习 数学分析 的过程中ꎬ还是应该多加思考ꎬ善于总结ꎬ不要满足于课堂与教材上的内容ꎬ这样才能有所收获ꎬ甚至有所创新ꎬ为以后的进一步学习和科研打下扎实的基础.
ʌ参考文献ɔ
[１]华东师范大学数学系.数学分析(上册ꎬ第三版)[Ｍ].北京：高等教育出版社ꎬ２００１.
[２]华东师范大学数学系.数学分析(下册ꎬ第三版)[Ｍ].北京：高等教育出版社ꎬ２００１.
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