开瑞论坛湖北省远安县花林寺中学 曾德家
一、对开展数学研究性学习的初步认识
数学研究性学习是学生学好数学的一个有效方式，是进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手、动脑、主动探索、实践和相互交流为主要学习方式的研究活动。它的功能在于能营造一个使学生勇于探索、争论和相互学习的良好氛围，给学生提供自主探索、合作学习、独立获取知识的时机。 数学研究性学习的课题不仅是教师提供，还应鼓励学生通过思考、调查、查阅资料等方式概括出问题，甚至可以通过日常生活情景提出数学问题，进而提炼成研究性学习的课题。在研究性学习的过程中，学生是学习的主人，是问题的研究者和解决者，是主角，而教师则在适当的时候对学生给予帮助，起着组织和引导的作用。
数学研究性学习的评价不仅仅关心学习的结果，而且更重要的是关注学生参与学习的程度、思维的深度与广度，学生获得了哪些发展，并且特别注意学生有哪些创造性的见解，同时对
学生的情感变化也应予以注意。
二、开展数学研究性学习的途径
1．在课堂教学中渗透研究性学习
求知欲是人们思考研究问题的内在动力，学生的求知欲越高，他的主动探索精神越强，就愈能主动积极进行思维，去寻问题的答案。教师在教学中可采用引趣、激疑、悬念、讨论等多种途径，活跃课堂气氛，调动学生的学习热情和求知欲望，以帮助学生走出思维低谷。如讲线性规划时，可介绍“优选法”在工农业生产、科学实验中实现最优化目标的巨大作用，并介绍它在建筑、艺术、语言、生物等方面的奇巧应用，使学生惊叹数学无所不在，神通广阔，提高了学生的求知欲望，使他们感到应主动掌握这一知识。又如在讲授排列应用题时，可以这样引入课题：现在我手上有6本不同的书，分给某6位同学，每人一本，共有多少种不同的分法？于是同学们议论纷纷，有的同学甚至拿着六本不同的书在试着分法，然而怎么也分不清。这时教师抓住这一有利时机指出：这一问题是这节课要解决的问题，只要掌握了解题方法问题很容易解决。这样尽管这节课的内容是一些繁杂枯燥的计算，学生在课堂上却是兴趣盎然。青少年学生求知欲望强，敢说，敢想，喜欢发表自己
的意见，组织讨论能很好地发挥这种心理优势。
实践证明在遵循教学规律的基础上，采用生动活泼，富有启发、探索、创新的教学方法，充分激发学生的求知欲，培养学生的学习兴趣，是提高课堂教学效果和培养学生研究能力的重要途径。
2．通过研究数学中的开放题开展数学研究性学习
数学开放题表达了数学研究的思想方法，解答过程是探究的过程，它有利于为学生个别探索和准确认识自己提供时空，便于因材施教，可以用来培养学生思维的灵活性和发散性，使学生体会学习数学的成功感，使学生体验到数学的美感。因此数学开放题用于学生研究性学习应是十分有意义的。
开放题是相对于传统的封闭题而言的，它的核心是培养学生的创造意识和创造能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体表达。选择数学开放题作为一个切入口，可以促进数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力。开放题通常是改变命题结构，改变设问方式，增强问题的探索性以及
解决问题过程中的多角度思考，对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题。近几年高考题中也出现了开放题的“影子”，如1998年第〔19〕题：“染料敏化太阳能电池关于函数f(x)=4Sin(2x+π/3)(xR)，有以下命题：①由f(x1)=f(x2)=0沧州日报可得x1-x2必是π的整数倍；②y=f(x)的表达式可改写为y=4Cos(2x-π/6)；③y=f(x)的图象关于点〔-π/6，0〕对称；④y=f(x)的图象关于直线x=-π/6对称。其中正确的命题是──〔注：把你认为正确的命题的序号都填上〕”显然教材中的例题“作函数y=3Sin(2x+π/3)的简图。”可作为其原型。学生如果明白这些道理就会产生对问题开放的需求，逐步形成自觉的开放意识。又如2000年理19、文20题：函数单调性的参数取值范围问题，它既有条件开放又有结论的开放，条件上，对 ，是选择 ，还是选择 ？选择前者则得 ，以后的道路荆棘丛生，而选择后者则有 ，以后的道路一片光明；结论开放表达在结论分为两段，一段上可使函数单调，另一段上不单调，且证明不单调的方法是寻反例。
有了开放的意识，加上方法指导，开放才会成为可能。开放问题的构建主要从两个方面进行，其一是问题本身的开放而获得新问题，其二是问题解法的开放而获得新思路。 如“已知 ,并且 求证 〔这是教材上的一个例题〕”除教材介绍的方法外，根据目标的结构特征，改变一下考察问题的角度，或同时对目标的结构作些调整、重新组合，可获得如下思
路：两点〔b,a〕、(-m,-m)的连线的斜率大于两点〔b,a〕、(0,0)的连线的斜率；b个单位溶液中有a个单位溶质，其浓度小于加入m个单位溶质后的浓度；在数轴上的原点和坐标为1的点处，分别放置质量为m、a的质点时质点系的重心，位于分别放置质量为m、b的质点时质点系的重心的左侧等。
又如，用实际例子说明函数 所表示的意义，给变量赋予不同的内涵，就可得出函数不同的解释，我们从物理和经济两个角度出发给出实例。
〔1〕X表示时间〔单位：s〕，y表示速度〔单位：m/s〕，开始计时后质点以10/s的初速度作匀加速运动，加速度为2m/s2，5秒钟后质点以20/s的速度作匀速运动，10秒钟后质点以-2m/s2的加速度作匀减速运动，直到质点运动到20秒末停下。
〔2〕季节性服饰在当季即将到来之时，价格呈上升趋势，设某服饰开始时定价为10元，并且每周〔7天〕涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售，10周后当季即将过去，平均每周削价2元，直到20马克思劳动价值论周末该服饰不再销售。
函数概念的形成，一般是从具体的实例开始的，但在学习函数时，往往较少考虑实际意义，
此题旨在通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释，体会到数学概念的一般性和背景的多样性。这是对问题理解上的开放。
3.在实际生活中体会数学研究性学习
研究性学习强调理论与社会和生活实际的联系，要引导学生关注现实生活，亲身参与社会实践性活动。同时研究性学习的设计与实施应为学生参与社会实践活动提供条件和可能。
如 “洗衣问题”：给你一桶水，洗一件衣服，如果我们直接将衣服放入水中就洗；或是将水分成相同的两份，先在其中一份中洗涤，然后在另一份中清一下，哪种洗法效果好？答案不言而喻，但如何从数学角度去解释这个问题呢？
我们借助于溶液的浓度的概念，把衣服上残留的脏物看成溶质，设那桶水的体积为x，衣服的体积为y，而衣服上脏物的体积为z，当然z应非常小与x、y比可忽略不计。
第一种洗法中，衣服上残留的脏物为 ；
按第二种洗法：第一次洗后衣服上残留的脏物为 ；第二次洗后衣服上残留的脏物为 ；显然有 ，这就证明了第二种洗法效果好一些。
事实上，这个问题可以更引申一步，如果把洗衣过程分为k步〔k给定〕则怎样分才能使洗涤效果最正确？
学生对这个问题的进一步研究，无疑会激发其学习数学的主动性，且能开拓学生创造性思维能力，养成善于发现问题，独立思考的习惯。
在数学研究性学习中，社会实践是重要的获取信息和研究素材的渠道，学生通过对事物的观察、了解并亲身参与取得了第一手资料，可以用所学的数学知识予以解决。以下的问题均可作为数学研究性问题来进行讨论：
〔1〕购房贷款决策问题 〔通过调查银行利率，利税及房价决定哪种方式购房划算〕
〔2〕对当地或国家近年来人口增长的情况调查，预测今后人口数量，给政府提出几点建议。
〔3〕气象学中的数学问题 〔温度、湿度、空气污染指数、臭氧层的变化〕
〔4〕当地耕地面积的变化情况，预测今后的耕地面积。
〔5〕无盖盒子的最大容积问题
〔6〕零件供给站(最省问题) 设在一条流水线上有5台机器工作,我们要在流水线上设立一个检验站,经检验合格后才能进行下一道工序,假设5台机器的工作效率相同,问检验台放在何处可使移动零件所走的距离之和最小?(陈祖德所花的总费用最省) 如果是n台呢?(可以用平面几何知识,也可以建立函数关系式,作出图象讨论得出)假设5台机器的效率不同又如何呢?
〔7〕拍照取景角最大问题：在公路的一侧从A至B有一排楼房，想在公路 上的任何一处拍一张正面照，任何选择公路上的点，使拍摄的一排楼房的取景最大(点A与点B与直线 的各种位置关系讨论)
类似问题 ：足球运发动在何处射门最好(不考虑其它因素)等
〔8〕商品营销策略问题:
1)调查某种商品的销量与它的利润的关系,并决策如何可使其获利最大?
2)对报亭买报情况调查，〔进价、售价，及卖不出去而退回每份赔钱多少〕，统计一个月的销售情况，问怎样决策收益最大？
生活中处处充满着数学，处处留心皆数学。我们早晨起床刷牙用的牙膏，细心的人会发现，牙膏的包装有大有小。其价格也不相同，你想过大小包装与其价格之间的关系吗？除了牙膏以外，还有商品都有大小包装之分，如饼干、瓜子、食油等等。你吃东西是，想过营养成份的搭配吗？你在上课时，想过坐在什么位置才能最清楚的看到黑板的问题吗？你在坐公共汽车遇到堵车时，想到尽快消除堵车的方案与数学知识有关吗？你乘船逆流而上发现东西掉进水中顺流而下时，想过假设将船掉头去追，什么时间能追上的问题吗？你在自行车修理铺里看到师傅在滚珠轴承装滚珠时，想过能装多少个吗？你在开灯关灯时，想过灯的位置与照明度的问题吗？你在开、关窗户时，想过窗户的面积与采光量的问题吗？你在听天气预报、台风警报、空气质量状况时想过他们是如何预报的吗？烈日下，你想过遮阳棚搭建方式与遮挡太阳光线有关吗？平日作业、例题、习题及高考试题的推广和变式你想过吗？……
对于上述问题，有些你也许想过，有些你也许从未想过。这些问题都与数学有关，既然数学与生活是如此的息息相关，我们就可以引导学生发现并研究这些数学问题，进一步提高他们学习数学的兴趣。
秩序作文三、数学研究性学习在高中的定位
数学研究性学习是面向全体高中学生的必修课，而不是只为少数优秀学生开设的课程，它以激发学生主动探索的积极性，培养学生的创新精神为追求目标，鼓励学生介入数学学科前沿的研究，要求学生的研究结果有科学性，但并不强求每个学生的最后研究成果都必须独一无二。强调这样一种课程定位，有助于防止数学研究性学习变为新的数学学科竞赛。
总之，设置研究性学习的目的在于改变学生以单纯地接受教师传授知识为主的学习方式，为学生构建开放的学习环境，提供多渠道获取知识、并将学到的知识加以综合应用于实践的时机，培养创新精神和实践能力。当前，受传统学科教学目标、内容、时间和教学方式的局限，在学科教学中普遍地实施研究性学习尚有一定的困难。因此，将研究性学习作为一项特别设立的教学活动作为必修课纳入《全日制普通高级中学课程计划(试验修订稿)》，这将会逐步推进研究性学习的开展，并从制度上保障这一活动的深化，满足学生在开放性的现实情境中主动探索研究、获得亲身体验、培养解决实际问题能力的需要。
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