首页 > 学术百科

H-矩阵最小奇异值的一个下界

㊀㊀第41卷㊀第5期㊀吉首大学学报(自然科学版)

V o l .41㊀N o .5㊀㊀

㊀㊀2020年9月

J o u r n a l o f J i s h o uU n i v e r s i t y (

N a t u r a l S c i e n c e sE d i t i o n )S e p

t .2020㊀㊀文章编号:10072985(2020)05000504

雅安市委书记徐孟加

H 矩阵最小奇异值的一个下界

∗

傅有明

(三明学院信息工程学院，福建三明365004

)㊀㊀摘㊀要：给出了N e k r a s o v 矩阵逆的1范数上界，并在此基础上获得了N e k r a s o v 矩阵的最小奇异值的一个下界.将结果应用到H 矩阵，结果表明，新的估计是有效的.

关键词:N e k r a s o v 矩阵;H 矩阵;

最小奇异值；下界中图分类号:O 151.21㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标志码:A D O I :10.13438/j .c n k i .j

d z k .2020.05.0021㊀预备知识

设C n ˑn 是所有n 阶复矩阵集合,A =(a i j )

ɪC n ˑn

，且N ={1,2, ,n },n 是任意整数.记e =(1, ,1)T .

如果一个实矩阵的非对角元是非正的，那么称它为Z 矩阵.如果一个非奇异矩阵是Z 矩阵且有非负逆，那么称它为M 矩阵.矩阵A =(a i j )ɪC n ˑn 的比较矩阵<A >=(ʏa i j )，定义为ʏa i i =|a i i |,ʏa i j =-|a i j |

,i ʂj ,i ,j ɪN .如果<A >是M 矩阵，那么称A 为H 矩阵.为了方便，记R i =ðj ʂ

i |a i j |,C j =ðj ʂ

i |a i j |,i ,j ɪN .设A =D +L +U ，其中D ,L 和U 分别是矩阵A 的对角矩阵㊁严格下三角矩阵和严格上三角矩阵.记h i (

A )如下:h 1(A )=ðn

j =2|a 1j |

,h i (A )=ði -1j =1|a i j |h j (A )|a j j |+ðn j =

i +1|a i j |㊀i =

2, ,n .ìîí(1

)注意到h i (

A )易通过(1)式计算.用矩阵语言可表述为h (A )=|D |(|D |-|L |)-1|U |e =|D |(I -(|D |-|L |

)-1<A >)e ，具体参考文献[1].

定义1[2]㊀设A =(a i j )

ɪC n ˑn

,n ȡ2，是非零对角元矩阵.如果对于每个i ɪN ,|a i i |>h i (

A )㊀i ɪN (2)成立，那么称A 为N e k r a s o v 矩阵.

K o l o t i l i n a [1]指出，条件(2)等价于|D |e >|D |(|D |-|L |)-1|U |e ，或者是Z 矩阵

(|D |-|L |)-1<A >=I -(|D |-|L |)-1|

U |的严格对角占优的条件.给定矩阵A =(a i j )

ɪC n ˑn ，设A ∗是A 的共轭转置，矩阵A 的奇异值是指(A A ∗)1

2的特征值，记作∗

收稿日期:20200112

基金项目：国家青年自然科学资助基金(11401341

)作者简介：傅有明(1964-)

，男，福建将乐人，三明学院信息工程学院讲师，主要从事矩阵理论及其应用研究.

σ1(A )ȡσ2(A )ȡ ȡσn (A )ȡ0.

在数值分析中，常常需要一个矩阵的最小奇异值，如谱条件数σ1(A )/σn (A ).文献[37]中都曾界定过矩阵A 的最小奇异值σn (

A ).对于严格对角占优矩阵A ，即|a i i |

>R i (A ),i ɪN ,V a r a h [3]

提出了著名的界σn (A )ȡ

m i n i ɪN

{|a i i |-R i (A )}m i n i ɪN

{|a i i |

-C i (A )}.(3)J o h n s o n 利用G e r s g

o r i n 定理证明了[4]

σn (A )ȡm i n i ɪN

{|a i i |

-0.5(R i (A )+C i (A ))},(4

)并对严格对角占优矩阵给出了进一步的下界[

]σn (A )ȡm i n

i ɪN

4|a i i |2+(R i (A )-C i (A ))2

-(R i (A )+C i (A ))(){

}(5)和

σn (A )ȡm i n

j ʂi 12

(a i i +a j j -(|a i i |-|a j j |)2

+(|a i i |+C i (A ))(|a j j |+C j (A ))){

}

.(6

)W a n g 等[6

]给出了严格对角占优矩阵最小奇异值的下界

σn (A )ȡm i n j ʂi |a i i a j j |

-R i (A )R j (A )|a j j |+R i (A )()1+ðk ʂi R k (A )|

a k k |æèöø|a j j |æ

èöø1

2ìîíüþý.(7)笔者将给出N e k r a s o v 矩阵的最小奇异值的一个下界,

并基于这个下界给出H 矩阵的最小奇异值的下界.2㊀主要结果

引理1[1]㊀设A =(a i j )

ɪC n ˑn

，是N e k r a s o v 矩阵，则有 A -1 ɕɤm a x i ɪN

z i (

A )|a i i |-h i

(A ){

}

其中:z 1(A )=1;

z i (A )=ði -1j =1|a i j ||

a j j |z j (

A )+1㊀㊀i =2, ,n .ìîí引理2㊀设A =(a i j )ɪC

n ˑn温州大学城市学院moodle

，是N e k r a s o v 矩阵，则有 A -1 1ɤm a x 1ɤi ɤn

m a x k ɪN

n |a k k |y k i

|a k k |-h k (

A ){

}{}.

其中:

y k i =0㊀k =1, ,i -1;y i i =1

|a i i |;y k i =ðk -

1j =

i |a k j ||a k k |y j i ㊀㊀k =i +1, ,n .ìîí

证明㊀注意到<A ><A >-1=I ，则由<A >=|D |-|L |-|

U |可知,(|D |-|L |)(I -(|D |-|L |)-1|

U |)<A >-1=I .记<A >-1=ʒ(b 1, ,b n )

，那么(I -(|D |-|L |)-1|U |)b i =(|D |-|L |)-1e i ,

)其中e i 是恒等矩阵I 的第i 列.记y i =(y 1i , ,y n i )T ʒ=(|D |-|L |)-1e i ，那么(|D |-|L |)y i =e i .

因为(|D |-|L |)-1是下三角矩阵且y i 是(|D |-|L |)-1的第i 列，所以y j

i =0,j <i ，于是|a i i |y i i =1,|a k k |y k i =0+ðk -

1t =i

|a k t |y t i ,

i <k ɤn .因此,y i i =1|a i i |

中国产经新闻报社,y k i =ðk -1j =

i |a k j ||a k k |y j i ㊀㊀

k =i +1, ,n .ì

îí6

吉首大学学报(自然科学版)

第41卷

记C ʒ=(I -(|D |-|L |)-1|

U |)，那么(8)式等价于C b i =y i .

)假设|b k i |=m a x 1ɤj ɤn

{|b j

i |}，则由(9)式和C 是严格对角占优的Z 矩阵，有|c k k ||b k i |ɤy k i +ðj ʂk

|c k j ||b k j |ɤy k i +ðj ʂk

|c k j |

|b k i |，即(|c k k |-ðj ʂk

|c k j |

)|b k i |ɤy k i .于是|b k i |

ɤy k i 1-h k (A )|a k k |

|a k k |y k i

|a k k |-h k (A )，从而

b i 1=ðn k =1

|b k i |

ɤm a x k ɪN

n |a k k |y k i

|a k k |-h k

(A ){

}

，因此

A -1 1ɤ <A >-1 1=m a x 1ɤi ɤn

{ b i 1}

ɤm a x 1ɤi ɤn

m a x k ɪN

n |a k k |y k i

|a k k |-h k (

A ){

}{}.

证毕.

为了获得N e k r a s o v 矩阵最小奇异值的下界,

记α(A )=

m a x i ɪN z i (A )|a i i |-h i (A ){}

m a x 1ɤi ɤn m a x k ɪN n |a k k |y k i

|a k k |-h k (A ){}{}

定理1㊀假设A =(a i j )

ɪR n ˑn

是N e k r a s o v 矩阵，则有σn (A )ȡα(A ).(10)证明㊀注意到 A -1 22ɤ A -1 1 A -1 ɕ，那么σn (A )=1

A -1 2

A -1 1 A -

1 ɕ

由引理1和引理2易知σn (

A )ȡα(A ).证毕.引理3[6

]㊀设D 是正对角矩阵且B =A D ，则有σn (

A )ȡσn (

B )

D ɕ

因为严格对角占优矩阵也是N e k r a s o v 矩阵，所以N e k r a s o v 矩阵的最小奇异值σn (A )的下界也能应用到H 矩阵.

定理2㊀设A =(a i j )ɪC n ˑn

，是H 矩阵，且存在一个正对角矩阵D 使得B =A D =ʒ(b i j )为严格对角占优矩阵，则有

σn (A )ȡ

α(B )

D ɕ

(11

)由定理1和引理3易知(11

)式成立.3㊀数值实例

考虑如下矩阵:

A 1=㊀25-4-1.5-1㊀9

-4-4.5㊀9æèöø,A 2=1000420116æ

èöø,

A 3=

㊀8

-0.5-0.5-0.5-916

-5-5-6

-4

-3

-4.

9-0.9-0.9㊀6æèöø,A 4=6-3

-2-1㊀11

-8-7

-3㊀1

0æèö

ø,

第5期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀傅有明:H 矩阵最小奇异值的一个下界

A5=

-7㊀1-0.2㊀2

㊀788㊀2-3

㊀20.5㊀13-2

0.5㊀3㊀1㊀6

束腰

ø紫花针茅

,A6=

21-9.1-4.2-2.1

-0.7㊀9.1-4.2-2.1

-0.7-0.7㊀4.9-2.1

-0.7-0.7-0.7㊀2.8

这些矩阵的最小奇异值的下界列于表1.

表1㊀矩阵的最小奇异值的下界

T a b l e1㊀N u m e r i c a l C o m p a r i s i o no f t h e S i n g u l a rV a l u e

矩阵A1A2A3A4A5A6

σn(A)2.68211.82852.33580.89225.69021.0943由(3)式计算的σn(A)0.5㊀㊀

由(4)式计算的σn(A)0.5-0.5㊀㊀-2.7㊀㊀-0.50.25-1.4

由(5)式计算的σn(A)0.50-1.5329-0.31530.3788-0.7

由(6)式计算的σn(A)0.250.7798-3.1063-0.6023-7.84-1.8904由(7)式计算的σn(A)0.4801 1.42480.5163由(10)式计算的σn(A)1.00770.97591.39460.57741.90.9538㊀㊀表1中表示公式不可用.由表1可知，由(10)式计算的界对矩阵A1~A6都是最好的.

参考文献:

[1]K O L O T I L I N ALY U.O nB o u n d i n g I n v e r s e so fN e k r a s o v M a t r i c e s i nt h e I n f i n i t y N o r m[J].J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s,2014,199(4):432437.

[2]L IW e n.O nN e k r a s o v M a t r i c e s[J].L i n e a rA l g e b r a a n d I t sA p p l i c a t i o n s,1998,281(13):8796.

[3]V A R A HJ AM E SM.AL o w e r B o u n d f o r t h e S m a l l e s tV a l u e o f aM a t r i x[J].L i n e a rA l g e b r a a n d I t sA p p l i c a t i o n s,1975, 11(1):35.

[4]J OHN S O NC HA R L E SR.A G e r s g o r i n-T y p eL o w e rB o u n d f o r t h eS m a l l e s t S i n g u l a rV a l u e[J].L i n e a rA l g e b r a a n d I t s

A p p l i c a t i o n s,1989,112:17.

[5]J OHN S O NC HA R L E SR,S Z U L CT OMA S Z.F u r t h e rL o w e r B o u n d s f o r t h e S m a l l e s t S i n g u l a rV a l u e[J].L i n e a rA l g e-

b r a a n d I t sA p p l i

c a t i o n s,1998,272(1):169179.

[6]WA N GC h u a n l o n g,Z HA N GG u o j i a n.S o m e S i m p l eE s t i m a t e s f o r t h e S i n g u l a rV a l u e s o fM a t r i c e s[J].A c t aM a t h e m a t i-

c a eA p p l i c a t a eS i n i c a:E n g l i s hS e r i e s,2002,18(1):117122.

[7]HU A N G T i n g z h u.E s t i m a t i o n o f A-1 ɕa n d t h e S m a l l e s t S i n g u l a rV a l u e[J].C o m p u t e r s a n dM a t h e m a t i c sw i t hA p-p l i c a t i o n s,2008,55(6):10751080.

L o w e rB o u n d f o r t h e S m a l l e s t S i n g u l a rV a l u e o f H-M a t r i c e s

F U Y o u m i n g

机辅翻译(D e p a r t m e n t o f I n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g,S a n m i n g U n i v e r s i t y,S a n m i n g365004,F u j i a nC h i n a)

A b s t r a c t:Al o w e rb o u n df o r t h es m a l l e s t s i n g u l a rv a l u eo f aN e k r a s o v m a t r i x i sd e r i v e da n dt h e nt h e l o w e r b o u n d i s a p p l i e d t o H-m a t r i c e s.T h en u m e r i c a l r e s u l t s s h o wt h a t t h en e we s t i m a t i o n i s e f f e c t i v e. K e y w o r d s:N e k r a s o vm a t r i x;H-m a t r i c e s;t h e s m a l l e s t s i n g u l a r v a l u e;l o w e r b o u n d

(责任编辑㊀向阳洁) 8吉首大学学报(自然科学版)第41卷

本文发布于:2024-09-23 07:20:40，感谢您对本站的认可！

本文链接：https://www.17tex.com/xueshu/633850.html

上一篇：(江苏专用)2020高考化学二轮复习专题检测(十) 无机化工流程

下一篇：基于D-optimal试验设计的公共交通出行logit模型

标签：矩阵对角占优下界应用引理

留言与评论（共有 0 条评论）