第３８卷第６期 计算机应用与软件
Ｖｏｌ ３８Ｎｏ．６２０２１年６月
ＣｏｍｐｕｔｅｒＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓａｎｄＳｏｆｔｗａｒｅ
Ｊｕｎ．２０２１
章春锋 汪 伟 吴天纬 安斯光
（中国计量大学机电工程学院 浙江杭州３１００１６）
收稿日期：
２０１９－１０－１８。浙江省自然科学基金项目（ＬＹ１９Ｅ０７０００３）；国家自然科学基金项目（６１７０１４６７）。章春锋，硕士生，主研领域：电磁场有限元剖分与数值计算。汪伟，教授。吴天纬，硕士生。安斯光，副教授。
摘 要 网格剖分是有限元法的关键，其剖分得到的网格质量决定了有限元法计算结果的准确性。提出基
于Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ算法生成非结构化三角形网格的新算法。通过分析Ｌａｐｌａｃｉａｎ平滑函数作用原理，提出新的平滑函数来减少迭代次数；提出一种在优化设计过程中无重构变形方法，通过定义边界网格框架利用坐标映射技术可以快速推导出网格；通过设置质量评估来解决不可终止性的可能和过度迭代，加入边界节点筛选功能，并对剖分得到的三角元进行有限元逆序编号处理。将该算法与Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ算法进行剖分效果对比，验证该算法应用于电磁场领域的有效性。 关键词 网格剖分 平滑函数 坐标映射 有限元 电磁场
中图分类号 ＴＰ３ 文献标志码 Ａ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１０００ ３８６ｘ．２０２１．０６．０３５
ＭＥＳＨＧＥＮＥＲＡＴＩＯＮＡＬＧＯＲＩＴＨＭＦＯＲＦＩＮＩＴＥＥＬＥＭＥＮＴＣＡＬＣＵＬＡＴＩＯＮ
ＯＦＥＬＥＣＴＲＯＭＡＧＮＥＴＩＣＦＩＥＬＤ
ＺｈａｎｇＣｈｕｎｆｅｎｇ ＷａｎｇＷｅｉ ＷｕＴｉａｎｗｅｉ ＡｎＳｉｇｕａｎｇ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌａｎｄＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，
ＣｈｉｎａＪｉｌｉａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ３１００１６，Ｚｈｅｊｉａｎｇ，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｉｓｔｈｅｋｅｙｏｆｔｈｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｑｕａｌｉｔｙｏｆｔｈｅｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｅｄｂｙｔｈｅｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｏｆｔｈｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ．ＡｎｅｗｕｎｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄｔｒｉａｎｇｌｅｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎＰｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．ＢｙａｎａｌｙｚｉｎｇｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆＬａｐｌａｃｉａｎｓｍｏｏｔｈｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎｅｗｓｍｏｏｔｈｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄｔｏｒｅｄｕｃｅｔｈｅｎｕｍｂｅｒｏｆｉｔｅｒａｔｉｏｎｓ；ａｎｏｎｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄｉｎｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｏｆｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｄｅｓｉｇｎ，ｗｈｉｃｈｃａｎｑｕｉｃｋｌｙｄｅｄｕｃｅｔｈｅｇｒｉｄｂｙｄｅｆｉｎｉｎｇｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｇｒｉｄｆｒａｍｅｗｏｒｋａｎｄｕｓｉｎｇｔｈｅｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｍａｐｐｉｎｇｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ；ｔｈｅｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙｏｆｎｏｎｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎａｎｄｏｖｅｒｉｔｅｒａｔｉｏｎｃａｎｂｅｓｏｌｖｅｄｂｙｓｅｔｔｉｎｇｔｈｅｑｕａｌ
ｉｔｙｅｖａｌｕａｔｉｏｎ，ａｎｄｎｏｄｅｆｉｌｔｅｒｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎｗａｓａｄｄｅｄｔｏｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙ，ａｎｄｔｈｅｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｅｌｅｍｅｎｔｓｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｓｕｂｄｉｖｉｓｉｏｎｗｅｒｅｎｕｍｂｅｒｅｄｉｎｒｅｖｅｒｓｅｏｒｄｅｒｂｙｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ．ＣｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｔｈｅＰｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｔｈｉｓａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｐｒｏｖｅｄｔｏｂｅｍｏｒｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｉｎｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ Ｍｅｓｈｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ Ｓｍｏｏｔｈｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｍａｐｐｉｎｇ Ｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔ Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｆｉｅｌｄ
０ 引 言
优异的适应场域边界几何形状以及媒介物理性质变异的能力，使有限元法成为各类电磁场、电磁波工程问题定量分析和优化设计的主导数值计算方法之
一［１］
。一般而言，有限元分析划分为建立模型（前处
理）、计算求解、结果处理和评定（后处理）。其中各阶段所用的时间占比分别为：４０％～６０％、５％～１０％、
３０％～５０％。因此，如何将实际工程中复杂场域离散
为“有限单元”，这一剖分问题在数值分析过程是极其关键的一步，直接决定了最终结果的准确性、有
效性［２］
。
网格生成器诸如大型商业软件Ｃ
ＡＥ／Ｍａｘｗｅｌｌ，以映射法为理论基础［３］。其主要思想是，通过合适的映
射函数将待剖分的几何域映射到参数空间形成规则的参数域；对规则参数域进行网格剖分；将参数域的网格反向映射回几何域，从而得到几何域的有限元网格。
２２０
计算机应用与软件２０２１年
映射法是非全自动方法，必须通过人工交互方式，将剖分对象先剖分成具有简单拓扑关系的子域［４］。以映射法为核心算法的这些商业软件价格昂贵、操作复杂，且在生成大规模三角网格时速度较慢，往往是几乎不可访问的复杂代码，它们通常被用作“黑盒”，很难与其他代码或者软件进行交互，因此用户放弃了控制［５］。理解和使用网格生成算法的能力，好比掌握数据可视化、计算机图形中的几何建模的方法一样，是非常有价值的选择，值得深入研究［６－７］。
Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ算法是基于ＭＡＴＬＡＢ的有限元网格自动生成算法［８］。与目前常用的Ｇｍｓｈ和Ｔｒｉａｎｇｌｅ开源网格剖分技术相比，Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ算法对一般的二维和三维的建模都能进行良好的处理，具有程序简短明晰、网格质量高、可移植性好的突出优点［９］。但是Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ算法并不完善，它可能不会终止并返回一个形状良好的网格，剖分速度相对较慢，且不易与实际应用相结合。目前，网格剖分存在剖分过程耗时长和网格质量不高的问题［１０］。
crb指数
本文主要从四个方面构造新的网格剖分算法：①通过引入新的平滑函数减少迭代次数；②利用坐标映射技术，避免由于微小形变而需重新剖分引起的计算资源浪费；③加入质量评估来作为终止条件，避免过度迭代；④对可能出现的重复节点进行删除处理。对于有限元应用解决了一些问题：确保边界节点位于边界上，提取有限元边界信息，将三角形节点逆时针编号处理。
１ 网格剖分原理
１．１ Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ算法原理
Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ算法的简单性是由于使用有符号距离函数来指定和描述要网格化的几何区域。距离函数指定从空间中的任何点到域的边界的最短距离，其中函数的符号在区域外是正的，在内部是负的，在边界上是零。此定义用于判断节点是位于几何区域Ｒ２的内部还是位于几何区域的外部［８］。此外，距离函数ｄ（ｘ）的梯度指向边界的方向，允许外部的点有效地移回到域。几何域Ω可以定义为：
Ω＝｛ｐ＝（ｘ，ｙ）∈Ｒ２｜ｄ（ｐ）＜０｝（１）在该算法中，所需的网格大小由网格密度函数ｈ（ｐ）提供。网格密度函数ｈ（ｐ）是由用户指定的，其大致是区域的边界之间的距离。在几何域比较复杂的位置，可以使用自适应方法来实现局部特征变化［１１］。对于均匀的网格，ｈ（ｐ）＝１。
Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ算法采用基于力平衡的网格平滑函数来优化节点位置，该力平衡模型是三角形网格和二维桁架结构之间的类比。三角形的边对应于杆，顶点对应于桁架的节点。平衡问题对应一个非线性方程：
Ｆ（ｐ）＝０（２）到一个定常解，满足式（２）。系统使用正向欧拉方法进行近似。在离散时间ｔ
ｋ
＝ｋΔｔ时，近似解ｐｋ≈
ｐ（ｔ
ｋ
）更新为：
ｐｋ＋１＝ｐｋ＋ΔｔＦ（ｐｋ）（３）式中：Δｔ为方便离散所设置的时间分段值。
杆力ｆ（ｐｋ
ｉ
，ｐｋ
ｊ
）仅具有排斥性，即：
Ｆ（ｐｋ
ｉ
，ｐｋ
ｊ
）＝
ｒｋ
ｉｊ
－‖ｅｋ
ｉｊ
‖ ‖ｅｋｉｊ‖＜ｒｋｉｊ
０‖ｅｋ
ｉｊ
‖≥ｒｋｉ
{
ｊ
（４）
式中：ｅ
ｉｊ
＝［ｐ
ｉ
，ｐ
ｊ
］为可变弹簧常数；ｆ（ｐ
ｉ
，ｐ
ｊ
）取决于其
当前长度‖ｅ
ｉｊ
‖和所需的长度ｒｉｊ。每一条边的力Ｆ取
决于它当前的长度‖ｅ
ｉｊ
‖和理想长度ｒｉｊ之间的差值。
对于均匀网格，ｒ
ｉｊ
是常数。但在许多情况下，在不同的区域有不同的尺寸是有利的［１２］。轻微的非线性力函数可能会产生更好的网格，但分段线性力给出良好的
结果，设置ｋ＝１，当‖ｅ
ｉｊ
‖＝ｒｉｊ时，Ｆ＝０，这是合理的。
建议的边界处理方法，意味着没有任何点被迫停留在
边界上，只是被阻止越过边界。
对于某些几何形状（如圆盘、椭球等），创建带符
号距离函数很容易。对于其他像凸多边形一样简单的
几何域，距离函数很难得到表示。Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ算法
通过引入固定点，可以使用简化的距离函数。除了比
其他网格生成器更短、更简单之外，Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ算法
还可以生成高质量的网格。
１．２ Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ可改进点
Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ算法是一种用于生成非结构化三角
形网格的快速而灵活的工具，但是对于有限元应用而
言存在一些主要缺点：
（１）基于Ｌａｐｌａｃｉａｎ函数的平滑算法仅描述了排
斥力，并未考虑吸引力，造成迭代次数过多，剖分速度
缓慢。
（２）对于有限元方法（ＦＥＭ）的数值模拟，生成合
格的网格既复杂又耗时。在进行实际应用时，即使只
有很小的变化，也需要为每组参数重复生成相应的有
限元网格。重新网格化过程非常耗时。
（３）算法执行缓慢和存在不终止的可能性。
（４）有限元应用方面的不足。不能保证边界节点
第６期 章春锋，等：适用于电磁场有限元计算的网格剖分算法２２１
位于域的边界处，固定点和边界节点在网格剖分排序时可能出现重复。网格剖分核心函数Ｄｅｌａｕｎａｙ剖分生成的网格未逆时针排列编号。
２ 改进的网格剖分算法
对于Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ网格剖分算法的不足之处，本文算法主要给出以下改进。
２．１ 平滑过程
为确保有限元分析结果令用户满意，生成的有限元网格通常应具备以下条件：所有单元接近理想形状；变化梯度较大的地方网格密度应相应增大；粗细网格之间过渡均匀［１０］。但通常情况下，在有限元网格自动生成器所生成的网格中总存在一些发生畸变的单元，剖分的几何域越复杂，畸形网格所占比例越大［１３］。
本文研究通过平滑函数进行网格优化处理。平滑处理常用的Ｌａｐｌａｃｉａｎ函数是应用最早同时也是最成熟的一种优化方法。其核心内容为：保持网格拓扑关系不变，将整个内部节点的位置摄动到由其相邻节点组成的多边形的质心处，使每个单元更接近于理想形状。将这个摄动过程遍历所有内部节点若干次，可较大幅度地提高网格质量［１４］。经过Ｌａｐｌａｃｉａｎ光滑处理的网格，不再具有Ｄｅｌａｕｎａｙ三角剖分的基本性质。
此外，化学中的Ｌｅｎｎａｒｄ Ｊｏｎｅｓ函数考虑了吸引与排斥两种力两个方面的因素，给出分子间作用能表达式，被称为兰纳琼斯势。兰纳琼斯势函数是表示分子间相互作用势能的一种近似模型，如式（５）所示。
ｆ（ｄ）＝ｄ－１３－ｄ－１４（５）式中：ｄ是网格元素的边的长度。
Ｌａｐｌａｃｉａｎ平滑函数只描述吸引行为，以帮助将节点分布到整个Ω域，但是由于只具有排斥力，不可避免出现迭代频繁；兰纳琼斯势函数平滑函数效果受到数值不稳定的影响，有概率导致迭代
不终止，陷入死循环［１１］。综合两个函数的平滑特性，通过拟合方法，从数学上得到新的平滑函数ＮＳＦ（ＮｅｗＳｍｏｏｔｈｉｇＦｕｎｃ ｔｉｏｎ），ＮＳＦ同时具有排斥力和吸引力，且在数值上具有稳定性：
ｆ（ｄ）＝（１－ｄ２）×ｅｄ３－ｄ４（６）平滑函数如图１所示，其中：实点线为ＮＳＦ平滑算法作用效果；虚线为Ｌａｐｌａｃｉａｎ
算法作用效果。
图１ 平滑函数
采用式（３）用于ＮＳＦ平滑算法。将ｐｋ
ｉ
设为节点ｉ在ｋ时间步长上的位置，为了达到稳态，通过式（７）迭
代更新节点位置。式中：Ｎ
ｉ
是节点ｉ的邻域。
ｐｋ＋１
ｉ
＝ｐｋ
ｉ
＋Δｔ∑
ｊ∈Ｎｉ
（ｐｋ
ｉ
，ｐｋ
ｊ
）
ｅｋ
ｉｊ
‖ｅｋｉｊ‖
ｉ＝１，２，…，Ｎ（７）２．２ 自适应微小形变技术
提出一种稳定且简单的网格变形技术，用于快速准确地划分ＦＥＭ网格。首先将边界网格定义为可伸缩变形的骨架，进而控制网格剖分生成的节点，不包括固定节点。更新所选边界网格的新坐标，就可以快速映射回细网格中节点的新位置。
在调用Ｄｅｌａｕｎａｙ三角形网格剖分后，进行网格优化之前，通过距离函数ｎｆｄ（ｎｅｗｆｕｎｃｔｉｏｎｄｉｓｔａｎｃｅ）定义新的边界网格框架，通过计算距离函数的数值梯度ｇｒａｄ，将点投射到新的边界。
ｄ
ｉ
（ｘ
ｉ
，ｙ
ｉ
）＝ｎｆｄ（ｘ
ｉ
，ｙ
ｉ
）（８）
ｇｒａｄ（ｘ
ｉ
）＝
ｎｆｄ（ｘ
原道n70双擎sｉ
＋ｄ
ｅｐｓ
，ｙ
ｉ
）－ｄ
ｉ
ｄ
ｅｐｓ
（９）
式中：ｄ
ｅｐｓ
为预设误差值，一般为１０－３ｈ
０
。
ｇｒａｄ（ｙ
ｉ
）＝
ｎｆｄ（ｘ
ｉ
，ｙ湖南电力客户服务中心
ｉ
＋ｄ
ｅｐｓ
）
－ｄ
ｉ
ｄ
ｅｐｓ
（１０）
ｘ
ｎｉ
＝（ｘ
ｉ
－ｄ
ｉ
×ｇｒａｄ（ｘ
ｉ
））
ｙ
ｎｉ
＝（ｙ
ｉ
－ｄ
ｉ
×ｇｒａｄ（ｙ
ｉ
{
））
（１１）进行坐标映射之后，开始网格平滑优化过程，计算并存储每个节点的坐标，可通过重心公式判断是否需要细分，经验判断方式为：若重心在三角形内部，则不需要细分，若在外部，则需要细分。该算法既不需要网格重新剖分，也不需要添加新的未知参数。与现有方法相比，计算复杂度及其计算成本较低。该算法使用时，需关注网格质量ｑ值，在形变较大时，仍须重新剖分以确保网格剖分的质量。
２．３ 终止条件
该算法存在执行缓慢和不终止的可能性。实验表明通过附加的控制逻辑，可以使它更加健壮。终止标准基
于当前迭代中节点的最大移动小于收敛精度ｄ
ｐｔｏｌ
：
２２２
计算机应用与软件２０２１年
ｍａｘ０．２∑ｎ
ｉ＝０Ｆｒ（ｐｉ
）槡
２
ｈ
０
＜ｄｐｔｏｌ（１２）
式中：Ｆｒ（ｐｉ）是每个节点ｐｉ的位移量；ｈ０是初始网格
尺寸大小。
由于一个高质量的网格有可能在达到该终止条件之前早已形成终止，标准应该包括一个质量评估，以避免迭代频繁。
在有限元应用中，误差上限取决于网格中的最小角度。要量化网格质量，通常使用的质量度量是最大内切圆半径ｒｉｎ与最小外接圆半径ｒｏｕｔ
之间的关系，即：ｑ＝２ｒｉｎ
ｒｏｕｔ
＝（ｂ＋ｃ－ａ）（ｃ＋ａ－ｂ）（ａ＋ｂ－ｃ）ａｂｃ（１３）
式中：ａ、ｂ和ｃ是边长。根据经验法则，如果所有三角形的ｑｍｉｎ＞０．５，则网格是优的。在算法中加入该质量评估，以避免过度迭代。
２．４ 问题节点处理
指定的固定点与应用概率拒绝方法后幸存下来的点可能重复，这将使得节点编号排序不正确，进而影响有限元求解。
对该问题进行如下处理：移除区域外的点，应用概率拒绝方法，再添加固定节点。在最后网格生成完成时，基于坐标判断是否重复，一般固定点位于边界处，在提取边界节点为有限元做准备后，在有限元解决计算过程中再次检查是否有重复节点。上述步骤在进行Ｄｅｌａｕｎａｙ三角剖分和平滑优化之前完成。
将三角形的任意两顶点交换，生成具有负面积的三角形排序，生成的三角形按标准逆时针形式排列；边界边在剖分域中只会出现一次，通过判断边的出现次数，实现边界节点筛选。
２．５ 算法流程
本文算法流程如下：
步骤１ 初始化和参数设置：根据初始网格的大小ｈ０，先把能涵盖欲划分区域的最大矩形划分为结构网格。根据距离函数定义，移除边界外的点。应用概率拒绝方法筛选点，当指定某些点要保留时，将保留的点加入，并删除重复的点。
步骤２ Ｄｅｌａｕｎａｙ检索：执行Ｄｅｌａｕｎａｙ三角剖分并移除质心在外部的三角形。逆时针重新排列三角形顶点，形成不重复的边界边并提取。
步骤３ 微小形变处理：给出新的距离函数来定义新的边界框架，计算新距离函数的数值梯度，通过
地窖囚禁少女
坐标映射技术将点投影到新的边界上。计算并存储坐标节点，防止出现节点重复。计算重心，判断是否需要细分。
步骤４ 网格平滑：计算和组装边缘力并移动节点。
步骤５ 边界节点：在边界上移动网格边界节点。网格的边界节点为边界边缘的端点。
步骤６ 终止标准：计算内部点的相对位移，并通过点来确定边长以计算网格质量ｑ。如果在当前三角剖分中检测到大位移，则转到步骤２。如果在当前迭代中检测到大位移，则转到步骤３，如果ｑ值均大于０．５，则终止。
步骤７ 有限元准备：清理并检查最终网格，输出包含边界节点序号、迭代次数等统计信息。
３ 验证分析与应用
３．１ 验证分析
实验条件：计算机配置为Ｉｎｔｅｌ（Ｒ）Ｃｏｒｅ（ＴＭ）ｉ５－７５００ＣＰＵ＠３．４０ＧＨｚ
。取经典的二维复合几何网格生成实验提出的新的平滑函数对于网格剖分迭代次数以及网
格生成质量的影响。采用新的平滑函数的网格剖分图如图２所示。
图２ ＮＡＣＡ００１２剖分
测试Ｌａｐｌａｃｉａｎ函数和ＮＳＦ平滑函数对于Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ算法的影响，在使用式（３）的前提下，取四组ｈ０进行测试对比，ｈ０为初始定义的网格尺寸大小，结果如表１所示。使用Ｎ
ＳＦ平滑函数优化网格到达平稳状态所需要的迭代次数是使用Ｌａｐｌａｃｉａｎ平滑函数进行网格优化所需要迭代次数的５０％。
表１ 平滑函数对于迭代次数以及时间影响ｈ０ＬａｐｌａｃｉａｎＮＳＦ
迭代次数时间／ｓ迭代次数时间／ｓ０．０８２３８７．３２１４４４．２７０．０６４３１７．９６２１８４．３５０．０４４５６８．４１２１６４．６５０．０２
９１３
１５．７６
５０８
８．０３
第６期
章春锋，等：适用于电磁场有限元计算的网格剖分算法
２２３
通过ＦＥＡＴｏｏｌＭｕｌｔｉｐｈｙｓｉｃｓ实现并集成了统一的ＭＡＴＬＡＢ网格生成框架，基于该工具箱，可以直接比较Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ算法和本文算法网格生成时间和网格质量（ｈ０＝
０．０２）。如表２所示，经过四次剖分测试（Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３，Ｌ４），新的网格算法相较于原先速度得到提升，其生成的网格质量ｑ
值经检测均在０．７以上。表２ ＣＰＵ时间（复合几何）
ｓ算法Ｌ１Ｌ２Ｌ３Ｌ４本文０．９２１．０５０．９３０．８５Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ
采集重构１３
．１６
１３
．０９
１１．５８
１３．３９
通过二维示例验证所提出的微小形变处理方法。如图３所示。假定内部圆形在变形过程中被放大。关于所提出的网格更新方法，首先需要定义包括所有可移动节点的边界网格。重新定义距离函数，可以根据新的边界网格（如图４（ａ）中黑虚线所标）和不变的区域坐标来映射精细网格的新位置，得到图４（ｂ）。
男生女生金版下载图３ 微小形变示意图
图４ 确立新的距离函数之后的剖分图
得到ＣＰＵ运行时间，以显示本文方法在计算效率上的优点。此二维精细网格中有３
９９个节点和６８０个元素。再生网格的ＣＰＵ时间为７．２６３ｓ，而针对相同问题的建议方法的计算时间为６．０２４ｓ，缩短了大约１７％。两个网格中每个元素的平均最大与最小边缘比分别为１．２１和１．３３。
３．２ 应用于电磁场领域
同轴线是由两根同轴的圆柱导体构成的导行系统，内外导体之间填充空气或高频介质的一种宽频带微波传输线。同轴线主要以ＴＥＭ模的方式广泛应用于宽频带馈线和元器件的设计中。如图５所示，使用
本文算法剖分一个外导体边长为２ｃｍ，内导体边长为１ｃｍ，内外导体电位差为１Ｖ的方同轴线，进行电磁场有限元处理，计算方同轴线间的电位分布，处理步骤
如下［
１５－１６］
：（１）网格剖分。
（
２）读入网格剖分准备的数据文件。（３）计算总体系数矩阵
Ｋ。（４）处理强加边界条件。（５）求解有限元方程。
图５ 方同轴线图
使用本文算法对该方同轴线进行剖分，在几何域比较复杂的地方，通过网格密度函数来进行有针对性的细化，网格剖分图如图６所示。与Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ算法的速度和网格质量进行对比，结果如表３所示。
图６ 网格剖分示意图表３ 不同算法剖分得到的结果
算法时间／ｓ迭代次数ｑｍｉｎ
ｑａｖｅｒ
本文
３．１７
７４１０．７１６０．８７５Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ２４．２１
１２１６
０．５２９０．９３４
可以观察到，引入ＮＳＦ平滑函数后的本文算法，迭代次数是原先Ｌ
ａｐｌａｃｉａｎ平滑算法的６０．９％左右，运行速度得到显著提升，得到的网格质量是平稳的，网格质量优，而且相较于Ｐｅｒｓｓｏｎ Ｓｔｒａｎｇ算法，不会出现网格质量显著下降的情况。
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议