本科生《博弈论及其在管理中的应用》概念与模型－答案 1.叙述由两个人且策略集合为两个元素组成博弈的纳什均衡的定义。（20分） 纳什均衡定义：用表示一个2人博弈，其中交流网表示第博弈方的战略集合，表示第博弈方的得益函数，。（5分）如果由各个博弈方的各一个战略组成的某个战略组合中，任一博弈方的策略 ，都是对其余博弈方策略组合，，，的最佳对策，（10分）也即 对任意都成立, 且对任意都成立。则称 为博弈 的一个“纳什均衡”。（20分） 2.两人博弈: 甲乙两人博弈，甲有U和D两种策略，乙有L和R两种策略，(1) 若甲采取U策略,乙采取L策略,则甲乙得益分别为a和b，记为：(a，b)；(2) 若甲采取U策略,乙采取R策略,则甲乙得益分别为c和d，记为：(c，d)；(3) 若甲采取D策略,乙采取L策略,则甲乙得益分别为e和f，记为：(e，f)；(4) 若甲采取D策略,乙采取R策略,则甲乙得益分别为g和h，记为：(g，h)。
问：(i) (U，L)和(D，R)为纯策略纳什均衡的条件是什么？(ii) 在(i)的条件下求该问题的混合策略纳什均衡。（20分）
解：两人博弈的得益矩阵如表1所示。
表1 两人博弈的得益矩阵
| L | R |
甲 U | (a, b) | (c, d) |
D | (e, f) | (g, h) |
| 核酸提取 | |
根据纯战略纳什均衡的定义可知，
(i) (U，L)和(D，R)为纯策略纳什均衡的条件是
, , 和； (1) （5分）
(ii) 记甲以概率选择U，以概率 选D，乙以概率选择L，以概率 选R, 其中，。记和分别表示甲和乙的期望收益，则 （10分）
记为纳什均衡，则根据纳什均衡定义，得
李椿萱 （18分）
混合策略纳什均衡是：甲以概率选择U，以概率 选D，乙以概率选择L，以概率 选R。 （20分）
3.智猪博弈（Boxed Pigs Game）（20分）
假设猪圈里有两头猪，一头大猪，一头小猪，猪圈的一端有一个猪食槽，另一端安装了一 个按钮，控制猪食的供应。按一下按钮，将有10个单位的猪食进入猪食槽，供两头猪食用。两头猪面临两个策略的选择：自己去按按钮或等待另一头猪去按按钮。如果某一头猪做出自己去按按钮的选择，它必须付出如下代价：第一，它需要消耗相当于2个单位的成本；第二，由于猪食槽远离按钮，它将比另一头猪后到猪食槽，从而减少吃食的数量。假定：若大猪先到（小猪按按钮），大猪将吃到9个单位的猪食，小猪只能吃到１个单位的猪食；若小猪先到（大猪场按按钮），大猪将吃到6个单位的猪食，小猪吃到４个单位的猪食；若两头猪同时按按钮，大猪吃到7个单位的猪食，小猪吃到３个单位的猪食；若两头猪同时到（两头猪都选择等待），则两头猪都吃不到猪食。如表4-6所示，对应不同战略组合的支付水平，如两头猪同时按按钮，同时到达猪食槽，大猪吃到7个单位的猪食，小猪吃到３个单位的猪食，扣除2个单位的成本，支付水平分别为5和1。其他情形可以类推。问题：两头猪如何选择各自的最优战略？
该模型的得益矩阵如下表4-6所示。无论大猪选择按按钮或等待，小猪选择按按钮都比等待差，这样的战略称为小猪的一个“严格劣战略”，我们首先加以剔除。在剔除小猪按按钮这一选择后的新博弈中，小猪只有等待一个选择，而大猪则有两个可供选择的战略。
表2 智猪博弈得益矩阵
| 按按钮 | 等待 |
大猪 按按钮 | (5, 1) | (4, 4) |
等待 | (9, -1) | (0, 0) |
gn205 | | |
解：在大猪这两个可供选择的战略中，选择等待对大猪是一个严格劣战略，我们再剔除新博弈中大猪的严格劣策略（等待）。剩下的新博弈中只有小猪等待、大猪按按钮这一个可供选择的战略，即（按按钮，等待）是智猪博弈的最优均衡解，称为“重复剔除的占优战略均衡”。根据纳什均衡定义，它也是纳什均衡。（20分）
表3 猜硬币博弈得益矩阵
设博弈方1出正面和反面的概率分别为x 和1-x，博弈方2猜正面和反面的概率分别为y 和1-y,那么博弈方1出正面和反面的概率x和1-x,一定要使博弈方2猜正面的期望得益和猜反面的期望得益相等,即
解得 , （18分）博弈方1的混合策略:以概率 分别出正面和反面。博弈方2的混合策略:以概率 分别猜正面和反面。（20分）
5.两人定和博弈（Constant-Sum Game）
假设 2 号选择C 的可能性为p，选择D 的可能性为1-p，并且1 号选择A 的可能性为q，选择B 的可能性为1-q。如果在给定2 号的概率p 和1-p 之后， A 和B 两个选项所代表的抽彩对于1 号选手来说并非等优，那么1 号就应该确定地选择A 和B 中的一个选项。也就是说，当且仅当选A 的预期价值与选B 的预期值相等时（这些预期值由2 号选定的策略决定），1 号才会在A 和B 之间保持q 和1-q 的概率。对于图2 所示的博弈，2 号选手的方程是4p + 1（1-p）= p + 3（1-p），所以p =1/4。我们的1 号选手也是一样---他只有在2 号在选C 和选D 之间没有偏向时才会愿意给A 和B 一定的权重，所以 q + 4（1-q）= 3q + 2（1-q）,即q = 1/2。（20分）
6.存在优势策略的两人零和博弈（Zero-Sum Game）
1 | C | D |
1 A | (4, 1) | (3, 2) |
B | (2, 3) | (1, 4) |
| | |
（A, D）是纳什均衡。（20分）
7. 存在纳什均衡（Nash Equilibrium）的定和博弈
表6：存在纳什均衡的定和博弈
| D | E | F |
A | (8, 1) | (3, 6) | (1, 8) |
B | (7, 2) | (5, 4) | (6, 3) |
C | (2, 7) | (4, 5) | (9, 0) |
| | | |
解：如果乙 选D，那么甲 最好选A；如果乙选择E，那么甲最好选B；如果乙选择F, 那么甲最好选C。如果甲选A，那么乙最好选F；如果甲选择B，那么乙最好选E；如果甲选择C, 那么乙最好选D。一旦两人进入（B, E）这个状态，他们谁都不想单方面地选择其他行动。（B, E）是该博弈唯一的纳什均衡。（20分）
8.鹰-鸽(Hawk-Dove)博弈（20分）
(1) 参与人：争食的两只动物-动物1和动物2。 动物1和动物2的行动空间都是一样的，即：Ai={鹰，鸽}, i=1，2 支付矩阵如下：
表7：存在纳什均衡（Nash Equilibrium）的定和博弈
| 鹰 | 鸽 |
鹰 | 百家讲坛周汝昌(0, 0) | (4, 1) |
鸽 | (1, 4) | (3, 3) |
| | |
(2) 此博弈属于完全信息静态博弈，根据奇数定理知道共有三个纳什均衡，两个纯策略纳什均衡和一个混合策略纳什均衡。
解：两个纯策略纳什均衡是：(鹰，鸽)和(鸽，鹰)。混合策略纳什均衡是：动物1和动物2分别以50%的概率随机地选择鹰(象鹰一样行动)或者鸽(象鸽一样行动)。 纯策略纳什均衡可以用划线法或箭头法求解。混合策略纳什均衡则可根据无差异原则求解概率分布，即：
首先，动物1应该以q的概率选择鹰，以1-q的概率选择鸽，使得动物2在鹰或者鸽之间无差异，那么由4(1-q) = q +3(1-q) 得q*=50%；
其次，动物2应该以a的概率选择鹰，以1-a的概率选择鸽，使得动物1在鹰或者鸽之间无差异，那么由4(1-a) = a+ 3(1-a) 得a*=50%。
(3) 此博弈实际就是一个斗鸡博弈，在现实生活许多现象都与此类似，如市场进入、前苏联与美国在世界各地争抢地盘等。 （20分）
杀气三时作阵云9.狩猎博弈（20分）
参与人是两个猎人，他们的行动是同时选择猎鹿或者猎兔。规则是：若两人同时猎鹿，则鹿被猎到且两人平均分配鹿的价值（10元）；若两人同时猎兔，则每人各获得价值1元的兔；若一人猎兔而另一人猎鹿则兔被抓到但鹿跑掉。该博弈的得益矩阵见表8所示：
表8：狩猎博弈
| 鹿 | 兔 |
鹿 | (5, 5) | (0, 1) |
兔 | (1, 0) | (1, 1) |
| | |
解：此博弈同样是一个完全信息静态博弈，参与人是两个猎人，他们的行动是选择猎鹿或者猎兔。该博弈纯策略纳什均衡为（鹿，鹿）和（兔，兔）。（5分）
下面求混合策略纳什均衡，假设猎人1以概率选择猎鹿，以概率选择猎兔，猎人2以概率选择猎鹿，以概率选择猎兔，则猎人1的得益为
(1)
猎人2的得益为
(2) （12分）
根据(1)和(2)，可得
（16分）
解得最优解 （18分）
混合策略纳什均衡是：两个猎人均以概率选择猎鹿，以概率选择猎兔。（20分）
10.库诺特寡头竞争模型 （20分）
某一市场上有n家企业，他们生产同一类产品用来满足该市场上顾客的需求；n家企业生产相同质量的产品；用代表企业i的生产批量，，表示市场上总产品数，代表逆需求函数(P是市场出清价格，即n家企业生产的产品能全部销售)，两企业的生产都无固定成本，企业i的成本函数记为，；n家企业同时决策各自产品的生产批量；n家企业对彼此的生产成本相互了解（完全信息）。假设，，,其中为常数。问题：(i)这n家企业如何决定各自产品的生产批量？(ii)假设，证明企业i的最优生产批量和最优利润是市场上企业数n的单调递减函数。
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