排列组合问题(一) 枚举法
枚举法
导言：
当计算的总数量不多时，我们通常把要计数的所有对象一一列举出来，从而求出其总数，这种最简单、最基本的计数方法叫做枚举法，或穷举法、列举法、分组法 使用枚举法计数时，要注意以下几点：①初步估计，总的数目不太多，又没有更简捷的办法②为了使枚举的结果不重复又不遗漏，我们要抓住对象的特征，选择适当的标准分类，有次序、有规律地列举 例1．现有1克、2克、4克、10克的砝码各一个，那么在天平上能称出多少不同重量的物体（只允许砝码放在天平的右边的盘子里） 解析：按使用砝码的个数进行分类列举
（1）、若使用一个砝码能称：1克、2克、4克、10克，共4种重量物体
（2）、若使用二个砝码能称：1+2；1+4；1+10；2+4；2+10；4+10克，共6种重量
（3）、若使用三个砝码能称：1+2+4；1+2+10；1+4+10；2+4+10克，共4种重量
（4）若使用四个砝码能称：1+2+4+10=17克，共1种重量物体
所以，总共能称：4+6+4+1=15种不同重量的物体
欧拉定理
思考：如果把题目中括号里的条件去掉，又能称多少种不同重量的物体？ 例2、有一张五元、4张贰元和8张一元人民币，从中取出9元，共有多少种不同的取法？
解析：按从大到小，从少到多的次序，先取五元，再取贰元，后取一元的顺序，把所有情况通常列表的形式一一列举出来
连结方式从上面的列举中可以看出：取9元钱共有7种不同的取法
iea例3、从1—10的10个数中，每次取2个数，要使它们的和大于10，一共有多少种取法？
解析：可从小到大依次思考
① 1+10
② 2+9，2+10
③ 3+8，3+9，3+10
④ 4+7，4+8，4+9，4+10
⑤ 5+6，5+7，5+8，5+9，5+10
⑥ 6+7，6+8，6+9，6+10
⑦ 7+8，7+9，7+10
⑧ 8+9，8+10
⑨ 9+10
永不停跳的舞步所以，共有1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种不同的取法
例4、在1—400的自然数中，数字“2”出现了多少次？
解析：在1—400这400个数中，“2”可能出现在个位、十位、百位上，我们就按这个来分类列举
在个位上：2、12、、、92；102、112、、、192；202、212、、、292；302、312、、、392，共10×4=40次
在十位上：20、21、、、29；120、121、、、129；220、221、、、229；320、321、、、329；共10×4=40次
在百位上：200—299，共100次
所以，“2”总共出现了40+40+100=180次
思考：仔细思考下题，看看与例4有何区别：在1—400的自然数中，含有数字“2”的数字有多少个？
例5、下图中有6个点，9条线段，一只蚂蚁从A点出发，沿差某条线段爬到C点，行进中，同一点或同一线段只能经过一次，这只蚂蚁最多有多少种不同的爬法 解析：从A点出发有三种路可以走，我们就按这个进行分类列举
A E D
B F C
慕容鲜卑(注示：上图中,AF间有一连线,EC间也有一连线)
①A—E—D—C；A—E—C；A—E—F—C，有三种爬法新奥法
②A—F—E—D—C；A—F—E—C；A—F—C，有三种爬法
③A—B—F—E—D—C；A—B—F—E—C；A—B—F—C，有三种爬法
所以，共有9种不同的爬法
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