时域信号经过FFT 变换后可以得到信号在频域的频率分布和相应的幅值信息，在频域中只需要关注特定频率的信号，可以有效排除其他频率信号的干扰，从而利用频谱信息恢复出该频率的时域信号。因此，频谱的信息准确与否会影响到恢复的时域信号。本文利用MATLAB 软件，从时域正弦信号的初相位和采样频率出发，对FFT 变换后的频域信息误差进行了仿真分析。1时域与频域信息之间的相互转换 对于时域信号，如正弦信号y=Asin (2πft+ψ)+B ，其直流分量为B ，交流分量的幅值为A 、频率为f ，初始相位为ψ。当模拟信号转化为数字信号时需要进行采样，采样频率f s 需满足采样定理，即f s >2f 。
对于采集的N 点序列，离散傅里叶变换(DFT )公式如下[1]:
X (k )=N-1
n =0∑x n e
-2πN
kn (k=0,1,…,N-1)(1)可由欧拉公式变形为:
X (k )=N-1
n =0
∑x (n )(cos (2πkn N )-isin (2πkn N ))
(2)
X (k )=N-1
n =0∑x (n )cos (2πkn N )-i N-1
zo0sko0icom性
n =0
∑x (n )sin (2πkn N )(k=0,1,…,N-1)(3)
通过以上公式计算可以得到N 点序列的DFT 结果，从而得
到信号在频域的信息。
本文在MATLAB 软件中使用的是FFT 算法。FFT 是一种实现DFT 的快速算法，其采用分而治之的思想，利用复数形式的离散傅里叶变换来计算实数形式的离散傅里叶变换，使DFT 的计算量降低了一个或几个数量级，使得DFT 得到广泛的应用[2]。
从频域到时域的转换可以通过对频谱信息进行相应的计算得到。以下以正弦信号y=2sin (2π×2000t+14
π)+3为例，图1a
为该信号的时域波形，图1b 为该信号的频谱。
该信号在时域的信息有：直流分量B=3，交流分量幅值A=2，频率f=2000Hz ，初相位ψ=14
π。信号的采样频率f s =32kHz ，采
样点数N=512。
时域的信息可以由频谱中的信息进行还原:
1)时域信号中直流分量:B=
Amp 0Hz
N
，其中Amp 0Hz 为FFT 频谱中0Hz 谱线对应的幅值，根据图1b 可以计算得出B=
Amp 0Hz
N
=1536512
=3，与时域信息相符。
2011福建理综2)时域信号中交流分量:A=
Amp f ∗N /2,ψ=arctan Amp im
Amp re
，其中Amp f ∗为某一频率对应的幅值,Amp im 为幅值的虚部,Amp re 为幅值的实部。根据图1b 可以得到幅值A=Amp f ∗
N /2=512512/2
=2，相位ψ=arctan
Amp im
Amp re
=arctan 362.04362.04=14π，与时域信息相符。
以上可见，只要得到的频谱信息准确就可以恢复相应频率
的时域信息。
2初相位与采样频率对频谱的影响
实际信号在采样过程中其初始相位是不确定的，而这种不确定性对于频谱存在一定影响。
以正弦信号y=sin (2π×2000t+phase )为例，其中phase 为信号的初相位，在MATLAB 中设置其在0~2π的范围内变化，信号的采样频率为f s ，采样点数N=512。该信号的交流分量幅值为1，频率为2000Hz ，对应的FFT 频谱中应在2000Hz 频率处有一峰值谱线，且该谱线的幅值应为256。图2所示信号在采样频率分别为f s =10kHz 、15kHz 、16kHz 、28kHz 、30kHz 、32kHz 时，得到FFT 频谱中幅值随初相位的变化情况。
在采样频率f s =10kHz 、15kHz 、28kHz 、30kHz 时，可以观察到FFT 频谱的幅值随初相位的不同呈正弦规律变化，周期T=π，且都未达到理论幅值256。而在采样频率f s =16kHz 、32kHz 时,FFT 频谱的幅值不随初相位变化，且恒为理论幅值256，此时初相位的不同对结果无误差影响。
原信号的频率为2kHz ，当f s =16kHz 、32kHz 时，在原信号
基于MATLAB 仿真分析频谱信号的误差
Analyze Error of Spectrum Signal Based on MATLAB Simulation 李
帅
李
静(中国科学技术大学精密机械与精密仪器系，安徽合肥230027)
摘要：利用MATLAB 软件，对时域正弦信号经FFT 变换后的频谱误差进行了仿真分析。通过分析时域信号中初相位和采样频率对FFT 频谱的影响，针对不同初相位与非整周期采样引起的幅值误差，给出其变化规律和改善方法；探讨了采样频率对频谱的峰值频率和幅值的影响，提出针对峰值频率谱线，采用提高采样频率的方法减小幅值误差。
关键词:FFT ；初相位；采样频率；误差
Abstract 押This paper uses MATLAB software to simulate and analyze the errors of the spectrum aft
er FFT transformation of time domain signal.By analyzing the influence of the initial phase and sampling frequency of time domain signal on the FFT spectrum熏the change rule and improvement method of the amplitude error caused by non-periodic sampling and differ⁃ent initial phases are given in this paper.The influence of sampling frequencies on the peak frequency and spectral ampli⁃tude is discussed熏and it is proposed that for peak frequency spectrum熏the method of increasing the sampling frequency can reduce the spectral amplitude error.
Keywords 押FFT熏initial phase熏sampling
frequency熏error
图1信号的时域与频域图
基于MATLAB 仿真分析频谱信号的误差
86
图2采样频率一定时，各初相位下频谱幅值
每个周期内的采样点数为8点、16点，则总采样点数512恰好
采样了整数个周期，分别为64个周期和32个周期，这样即使初相位有所变化，但由于依然是整数个周期的信号，因而在FFT 变换过程中不会产生能量泄漏，频谱幅值也没有误差。图3a 所示，整周期采样频率f s =32kHz 时的频谱为理想的单一谱线，其频率与峰值都与理论值一致。当f s 为其他频率时,512个的采样点采样得到的数据并不是整数个信号周期，所以在FFT 变换时会产生能量泄漏，频谱幅值存在一定的误差。图3b 所示，非整周期采样频率f s =15kHz 时的频谱存在旁瓣泄露，频谱中的峰值频率与峰值幅值与理论值都存在一定的误差。此外，由于初相位不同导致信号波形有所差别，使得能量泄
露的程度不同，因而各初相位下对应的频谱幅值呈现波动。
图3整周期采样与非整周期采样得到的FFT 频谱图
当采样频率fs 不同时，在频谱中直接影响的是频谱的频率分辨率△f ，其中△f=
f s
N
，表示频谱中两条相邻谱线的频率间隔，频谱中谱线对应的频率为△f 的整数倍。对于时域信号频率f 0,
其在频谱中对应的谱线数为m=f 0△f =f 0f s
·N ，对应频谱中的频率为f ∗
=m ·△f [3]。
若m=
f 0△f =f 0f s ·N 为整数，则f ∗=m ·△f=f
0f s
·△f=f 0，可以在FFT 频谱中准确得到原始信号频率及其对应的幅值;
若m=
f 0△f =f 0f s
·N 不为整数，则m 按照四舍五入方式近似，有:m ∗
=round (m )=round (f 0f s
·N )，频谱中对应的频率f ∗
=m ∗
·△f=round (
f 0
f s
·
N )×△f ，在此近似舍入过程中，频谱中所对应的频率不再为原信号频率，出现一定偏差，对应的谱线的幅值与理论幅值也存在一定的误差。
地统计学图2中各采样频率对应的频率分辨率与谱线数如表1所示。由表1可见，只有16kHz 和32kHz 的采样频率计算得到的谱线数为整数，在频谱中可以准确地恢复原信号频率2000Hz ，并且可以得到准确的频谱幅值；而其余的采样频率得到的谱线电子政务信息平台
数都不为整数，在近似的时候会产生误差，使得频谱中的频率不为原信号频率，幅值也会失真。
为了减小不同初相位以及非整周期采样引起的幅值误差，使用汉明窗(Hamming )对信号进行处理，其可以有效地减少旁瓣引起的泄露，改善频谱幅值[4]。其数学表达式如下穴其中M 为离散序列总长度，本文中M=512雪:
w (n )=
0.54-0.46cos (2πn M-1)0≤n ≤M-1
0otherwise
{
(4)
对加窗前后的时域信号进行FFT 变换，得到各初相位下的频谱幅值如图4所示。
图4加窗前后，各初相位下频谱幅值
由图4可见，对于某一采样频率，加窗后的频谱幅值较加窗
前在幅值上都有明显的增加，向理论幅值靠近；同时加窗后频谱幅值在不同初相位间的波动程度也较加窗之前有所减小。说明加窗对减小不同初相位以及非整周期采样引起的频谱幅值误差有改善效果。
3采样频率与频谱分布
采样频率与FFT 频谱有着密切关系，在实际中采样频率往往不能满足整周期采样，因此，综合考虑采样频率对频谱的影响是有必要的[5]。在以下仿真中，不考虑信号初相位的影响、以不同的采样频率f s 对正弦信号y=sin (2π×2000t )进行采样，然后依次进行FFT 变换。当非整周期采样时，频谱中会出现峰值谱线及其旁瓣，到频谱中峰值幅值及其对应的峰值频率，绘制出图5所示曲线。
图5中z 坐标为采样频率f s ,x 坐标为频谱中峰值频率,
(下转第89页
)
图5不同采样频率下FFT 频谱中的峰值频率及峰值幅
值
表1
不同的采样频率对应的频率分辨率及频谱中的谱线数
(上接第87页)
y 坐标为对应的峰值幅值。可以发现，曲线的形状为一簇向外延
拓的抛物线。
图6是由图5得到的二维图。由图6a 可见，当采样频率f s
变化时，频谱中得到的谱线峰值频率是一簇与采样频率有关的直线，在不同段的采样频率范围内遵循不同的直线规律变化，不同的采样频率下可以得到相同的峰值频率，且随着采样频率增加，峰值频率的误差范围增大；而在幅值与谱线频率的关系中(图6b )，二者呈抛物线的关系，由于采样频率的不同，在相同的峰值频率下会得到不同峰值幅值。进一步探究某一峰值频率下幅值的变化情况，可得到图7所示曲线。
图6
由图5得到的二维图
图7所示，不同的采样频率可以在频谱中得到相同的峰值频率，观察峰值频率对应的峰值幅值变化情况，可以发现同一峰值频率下谱线的幅值是随着采样频率的增加而增加的，并逐渐向理论幅值逼近。因此，在同一峰值频率下，提高采样频率可以作为一种减小幅值误差的方法。4结束语
本文利用MATLAB 软件分析了时域中正弦信号的初相位
和采样频率对FFT 频谱的幅值影响，针对峰值频率谱线，其幅值随着采样频率的增加而增加，并逐渐向理论幅值逼近，提高采样频率可以作为一种减小幅值误差的方法。
参考文献
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望,2015,25(29):117,119
[收稿日期:2020.12.3
]
式中:
A (1)(p ,q )=e j θ00
012√e 2πj (p /P )12
√e 2πj (q /Q )e
-j θ
0-12√e
-2πj (q /Q )
12
√e -2πj (p /P )e -j θ⎡⎣⎢
⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥B (1)(p ,q )=12√e 2πj (r /R )e j θ
12
√e 2πj (s /S )e j θ
0-12
√e -2πj (s /S )
12√e -2πj (r /R )000e -j θ⎡⎣
血液回收⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥θp ,q =2π(p q +q Q ),θγ,δ=2π(r R +s S
);P 、Q 、R 、S 为正整数,
该集合为SU (3)的一个子集，我们称它为SU (3)空时码，该码中包含了所有的PQRS 元素。SU (3)空时码在编码时相比较于循环码更有优势，且其优势会随着信噪比的增加而增加，但它在译码过程中需要采用穷举搜索的方式，无法采用快速译码方案。3结束语
本文主要讲述了近年来空时编码技术中格码和码所取得的研究成果，它们有各自的优缺点，而在未来的研究进程中，我们希望能将格和结合，以得到性能更加优越的空时码。同时上述的空时码基本只应用于2×2或者3×3天线系统上，希望在后续的研究中使得它们能在天线数量更多的系统中得以应用。
参考文献
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Antenna Signal Constellations and Fixed -Point -Free Lie
Groups 眼C演//Proceedings of 2001IEEE International Sympo⁃sium on Information Theory熏2001押199
[7]Jing Yindi熏Hassibi Babak.Design of fully diverse multiple-anten⁃
na codesbased on Sp 穴2雪眼C演//2003IEEE International Confer⁃ence on Acoustics熏Speech熏and Signal Processing 穴ICASSP '03雪熏2003押2639-2656
[8]Jing Yindi熏Hassibi Babak.Three -Transmit -Antenna Space -
Time Codes Based on SU 穴3雪眼J演.IEEE Transactions on Signal
Processing熏2005熏53穴10雪押3688-3702
[收
稿日期:2020.11.27]
图7
频谱中相同的峰值频率在不同采样频率下的幅值变化情况
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
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