在上一章中，我们通过分析不同状态下的声发射信号，发现时域均方值与刀具磨损相关，特征频段15kHz～25kHz最能反映刀具磨损。由于声发射信号的时域分析和频域分析是建立在傅立叶变换的基础之上，而傅立叶变换使用的是一种全局的变换，无法表述信号的时频域性质，这种时频域性质是非平稳信号的关键特性。我们使利用的小波分析方法具有“变焦”的性质，这种方法在高频部分具有低的时间分辨率，相应的在低频部分有高的时间分辨率，利用小波分析的变焦办法在时域和频域都得到较高的精度。就弥补了信号分析中时域分析和频域分析的不足，其方法是：把原始的声发射信号进行N层的小波分解，然后提取第N层的N+1个频率成分的信号特征，试图在这N+1个频率段中到最能体现刀具磨损状态的特征量，以达到利用小波分析的目的。因此本章基于小波分析，进一步探索某个特征频域段上能表征刀具磨损状态的声音信号特征值。 4.1小波变换的基本原理
小波的概念是20世纪80年代由法国科学家在分析处理地球物理勘探资料是提出的，后经过许多技术专家和学者的不懈努力和探索，使得小波变换理论应用于现代问题的各个方面，且已经成为应用数学发展的一个新的方向。
在传统的信号分析和处理中，最为重要的方法之一是傅立叶变换，它被视为时间域与频率域的桥梁，对于一般的信号来说，使用傅立叶变换足以可以达到分析信号的目的，通过傅立叶变换，可以得到信号中包含的各种频率成分，但是不足的是经过傅立叶变换就失去了时间的信息，这就意味着给出的信息不能告诉我们在某一个时间段里发生了怎样的变化，有时这就是我们所需要清楚的，所以傅立叶变化不适合于对非平稳信号的处理和分析。于是，为了处理和分析非平稳信号，一些研究人员对傅立叶分析作了改进，在此基础上发展了一系列新的信号分析理论：这就包括快速傅立叶变换（FFT）、短时的傅立叶变换、在本文中用到的小波变换等等。短时傅立叶变换从本质上讲是一种单一分辨率的信号分析方法，所以在信号分析上来说还是存在着不可克服的缺陷。
小波变换也是在传统的傅立叶变换不能满足现代信号处理的要求上而产生的，它在本质上讲是一种时间—频率的分析方法，具有多分辨率分析的特点，所以就克服了短时傅立叶变
换的单一分辨率的缺陷，而且在时域内都具备表征信号特征的能力。小波分析的实质是一种窗口大小不变，但窗口形状可变的时域和频域的分析方法，即在低频部分采用宽的时间窗，从而得到较高的频率分辨率和较低的频率分辨率。相反在高频部分采用较窄的的时间窗，从而得到具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。由于这种分析的性质，使得小波变换在我们信号处理和分析方面获得广泛的应用，所以针对我们试验的到的声发射信号的特点，我们采用小波分析的方法来处理的声发射信号。
4.1.1 小波变换
小波是一个逐近衰减的波形，它在其有限区域内，满足其值存在(且不为零)，且其均值为零。从而设为平方可积函数，即，若其傅立叶变换满足容许性条件：
（4-1）
（4-2）
则称式中为一个“基本小波”或“母小波”(Mother Wavelet)，其伸缩平移产生一小波基函数集合，即：
（4-3）
其中：为尺度因子；为平移因子。小波中伸缩因子或尺度因子的作用是使小波在保持完全相似条件下“拉伸”或者“压缩” ；而小波中的平移因子就是简单地将波形沿时间轴平移。 4.1.2 连续小波变换
连续小波变换(Continuous Wavelet Transform，CWT) ，它是在短时傅立叶变换 ( SFT ) 的基础之上发展起的，由于它克服了短时傅立叶变换的信号分辨率问题。所以被视为一种较佳的信号处理方法。对于任意函数的连续小波变换为：
（4-4会员信息系统）
连续小波变换 是与参数和有关的函数。小波变换的时频窗口形状为两个矩形：
（4-5）
小波变换的窗口中心为：，时间窗和频率窗分别为和。
4.1.3 离散小波变换
我们在处理采集到的声发射信号信号时，都是一些连续的信号，所以必须将连续的小波进行离散化。连续小波变换是一种冗余变换，为了减小冗余度和便于计算机实现，需要对尺度因子和平移因子加以离散化。
1． 尺度离散化[37]
根据小波的定义式4-3所示，尺度因子的离散化通常采用幂级数的方式进行，即：
，其中为整数， ，为扩展步长 （4-8）
的取值反映了尺度因子的离散化程度，当的取值越接近于1，则离散化程度就越低；相反，当的取值越大于1时阈下效应，则表明离散化程度就越高，这就意味着从离散小波变换恢复分析信号也就越难，对母小波的要求也越高。所以，当需要对信号进行精细分析时，应选择较小，而相反当需要进行数据压缩时，则需要较大的。
2． 平移离散化[48]
当=1时，平移因子的离散化间隔为，即=。当尺度时，平移因子离散化处理为：
， （4-9网络品牌传播）
所以，根据上面两式可以得到任意函数的离散小波变换为：
（4-10）
离散小波变换重构公式可表示为：
（4-11）
其中，为一个与信号无关的常数。
4.1.4 二进小波变换
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如果同时需要进行尺度和位移的离散化，则离散小波变换将要损失位移不变性，而为了保留变换中的位移不变性，则在离散小波变换与连续小波变换之间做折中的处理，经过这种离散化处理后的连续小波变换即为二进小波变换[37]。二进小波变换只对尺度进行离散化，故令幂级数基底=2；对位移进行连续化，即：令= 0。其小波母函数的尺度伸缩平移为：
（4-12）
任意函数的二进小波变换为：
（4-13）
二进小波变换重构公式可表示为：
（4-14）
其中：为 的对偶函数。
二进小波变换对信号分析具有变焦距的作用。假设有一放大倍数为，若想进一步观察信号更小的细节，则需要减少值即增加放大倍数；反之，需要加大值即减小放大倍数。
4.1.5多分辨率分析
若把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化，就相当于将照相机镜头由远及近地观察目标。在大尺度空间里，对应远镜头下观察到的目标，只能看到目标大致的概貌；而在小尺度下观察目标，就可以观察到目标的细节部分。这种由粗及精对事物的分析就称为多辨率分析。人们在不同尺度（频率区间）对信号进行观察。在大尺度下，观察信号全貌或对信号进行粗略逼近；在小尺度下，观察信号的局部成分。
图4—1是原始信号三层多辨率分解结构示意图。图中的原始信号分解为和，其中表示信号的低频成分，沈阳师范大学文学院表示信号的高频部分。这是进行第一层分解，接下来进行第二层分解，即对低频部分进行进一步分解，而高频部分则不予以考虑。以此类推，当进行到三层分解时，分解的原始信号具有如下关系式：。当然还可以进行继续分解，方法如同前面几层分解。
图4-1三层多分辨率小波分解结构图
Fig.4-1 Three-layers multi-resolution wavelet decomposition configuration
从图4-1可以看出，多分辨率分析只对低频空间（低频率段）进行进一步分解，如果对信号进行更多次数的分解，可以使得频率分辨率越来越高。信号的多分辨率分析的目的在于构造一个在频率上高度逼近空间的正交小波基，而这些分辨率不同的正交小波基也就相当于带宽不同的带通滤波器。在上多辨率分解所定义的尺度空间{， }必须满足一下性质：
1． 单调性：即满足：
（4-15）
2． 伸缩性：即满足：
（4-16）
3 固定尺度下的平移不变性：即满足：
（4-17）
4 逼近性：即满足：
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