第一章 信号与系统
单位阶跃信号 1,0()()0,0t t u t t ε≥⎧==⎨<⎩ 单位冲激信号 ,0()0,0()1t t t t δδ∞ -∞
⎧∞=⎧=⎨⎪⎪≠⎩⎨
⎪=⎪⎩⎰ ()
()d t t dt
εδ=
()()t d t δττε-∞=⎰
()t δ的性质：
()()(0)()f t t f t δδ=
000()()()()f t t t f t t t δδ-=-
()()(0)f t t dt f δ∞
-∞
=⎰
00()()()f t t t dt f t δ∞
-∞菲涅尔双棱镜
-=⎰
()()t t δδ=-
00()[()]t t t t δδ-=-- 1
()()at t a
δδ=
001
()()t at t t a a
δδ-=
- 单位冲激偶信号 ()t δ'
()()d t t dt
δδ'=
扈莹悦()()t t δδ''=--
00()[()]t t t t δδ''-=---
()0t dt δ∞
-∞'=⎰ ()()t
d t δττδ-∞
'=⎰
()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=-
00000()()()()()()f t t t f t t t f t t t δδδ'''-=---
()()(0)f t t dt f δ∞
-∞
''=-⎰
00()()()f t t t dt f t δ∞
-∞
''-=-⎰
符号函数 sgn()t
1,0sgn()0,01,0t t t t >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
或 sgn()()()2()1t u t u t u t =--=-
单位斜坡信号 ()r t
0,0()(),0
t r t tu t t t <⎧==⎨
≥⎩ ()()t r t u d ττ-∞=⎰ ()
()dr t u t dt =
门函数 ()g t τ
1,()20,t g t ττ⎧
<⎪=⎨⎪⎩其他
取样函数sin ()t
Sa t t
=
0sin lim ()(0)lim
文华电影
1t t t
Sa t Sa t
→→=== 当 (1,2,
)()0t k k Sa t π==±±=时，
sin ()t Sa t dt dt t
π∞
∞
-∞
-
∞
==⎰
⎰
sin lim 0t t
t →±∞=
1、
基本信号的时域描述
（1）普通信号
普通信号可以用一个复指数信号统一概括，即
st Ke t f =)(，+∞<<∞-t 式中ωσj s +=，K 一般为实数，也可以为复数。根据σ与ω的不同情
况，)(t f 可表示下列几种常见的普通信号。
)(00)sin (cos )(s )(00sin cos )(s 00)()(s 00)
()(0s )(号振幅变化的正、余弦信时），（即复数时当正弦信号与余弦信号时），（即虚数时当时），（即实指数信号实数时当时），（即直流信号时当≠≠+==≠=+===≠======⎪⎪⎪
⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎪⎨
⎧
⇒=-ωσωωωσωωωσωσσσt t Ke t f t j t K t f Ke t f K t f Ke t f t t st （2）奇异信号
常见的连续时间奇异信号有单位冲激偶)(t δ'、单位冲激信号)(t δ、单位阶跃信号)(t u 和斜坡信号)(t r 。任意的连续信号)(t f 可用冲激信号)(t δ，冲激信号)(t δ是信号进行时域分析的本证信号。 冲激信号
的定义：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=≠∞→≠=⎰∞∞
-A dt t A t t A t t A )(0,)(0
,0)(δδδ
式中A 为实数。若1=A ，冲激信号)(t δ称为单位冲激信号)(t δ。
冲激信号的主要性质：
①筛选特性
)()0()()(t f t t f δδ= )()()()(000t t t f t t t f -=-δδ 0t 为实常数
②取样特性
)0()()(f dt t t f =⎰
∞
∞
-δ
)()()(00t f dt t t t f =-⎰
∞松江大学城论坛
∞
-δ
③展缩特性
)(1)(a
b
t a b at +=
+δδ，a ，b 为实常数 ④冲激信号、阶跃信号、斜坡信号和冲激偶信号之间关系
)]([)(t dt d t δδ=
' )]([)(t u dt d t =δ )]([)(t r dt
d
t u = )()(t d t
δττδ='⎰
∞
-
)()(t u d t
=⎰
∞
-
ττδ
)()(t r d u t
=⎰
∞
-ττ
冲激偶信号的定义：
⎪⎩⎪⎨⎧≠=='0
,00),()(t t t dt d
t δδ
冲激偶信号的主要特性： ①筛选特性
)()()()()()(00000t t t f t t t f t t t f -'--'=-'δδδ 0t 为实常数
②取样特性
)()()(00t f dt t t t f '-=-'⎰
∞
∞
-δ，0t 为实常数
③展缩特性
)(1)(a
b
t a a b at +'=
+'δδ，a ，b 为实常数 )()(t t δδ'-=-' 2、 连续时间信号的时域分析 信号的基本运算：加、乘、微分、积分、翻转、平移、展缩、分解。 3、
卷积积分
超标量
（1） 定义 τττd t f f t f t f )()()()(2121-=*⎰
∞
∞
-马拉拉联合国演讲
（2） 性质
交换律 )()()()(1221t f t f t f t f *=*
分配率 )()()()()]()([)(3121321t f t f t f t f t f t f t f *+*=+* 结合律 )]()([)()()]()([321321t f t f t f t f t f t f **=** 卷积的微积分性质 )()()()()
1(t g t f t g
t f *=*'-
)()()()()()(t g t f t g t f n n *=* )()()()()()(t g t f t g t f n n --*=*
奇异信号的卷积性质
)()()(t f t t f =*δ
)(0t t -δ是0t 秒的延时器 )()()(00t t f t t t f -=-*δ
)(t δ'是微分器 )()()(t f t f t '=*'δ
)(t u 是积分器 )()()()()1(t f d f t f t u t -∞
-==*⎰
ττ
系统的时域分析就是在时间域内分析输入与输出的时间特性，也可以认
为，在输入激励信号已确定的情况下，主要分析输出响应的时间特性。时域分析有经典法和卷积积分法。
第三章 连续时间信号与系统的频域分析 1、
周期信号的傅里叶级数
对于满足狄里赫利条件的周期为T 的信号)(t f ，可以展开成三角形式和指数形式的傅里叶级数。 记
T
π
ω20=
Ω=，称之为基频。 （1） 三角形式的傅里叶级数 ∑∞
=++
=1
000)]sin()cos([)(n n n
t n b t n a
a t f ωω
（2） 指数形式的傅里叶级数 t jn n n e F t f 0)(ω∑∞
-∞
== 式中 dt e t f T
F t
jn n 0)(1ω-∞∞-⎰=
2、
傅里叶变换
（1） 傅里叶变换的定义式 dt e t f j F t j ωω-∞
∞
-
⎰
=
)()( ωωπ
ωd e j F t f t j )(21)(⎰
∞
∞
-=
)(ωj F ——)(ωj F 的模，表示信号)(t f 中各频率分量的相对大小，称之为信号的幅频特性；
)(ωϕ——)(ωj F 的相角，表示信号)(t f 中各频率分量的相对位置关系，称之为信号的相频特性；
（2）傅里叶变换的性质
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