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本论文主要研究几何流上若干几何量的问题,包括Ricci流下p-Laplace算子的第一特征值,扩散算子第一特征值的上界估计,热型方程的Harnack估计,紧致黎曼orbifolds上度量的Ricci形变,以及完备流形上Yamabe流的几何性质等.具体地讲,首先在第二章中,我们研究了关于在闭流形上p-Laplace算子的第一特征值沿着Ricci流的连续性、单调性和可微性问题.证明了在一些曲率条件下,p-Laplace算子的第一特征值沿着Ricci流是严格单调且几乎处处可微的.特别地,对于定向的闭曲面,在没有任何曲率限制的情形下,构造了各式各样的单调量,因此证明了p-Laplace算子的第一特征值是几乎处处可微的.当Euler示性数为负值时,得到了一个p-特征值的比较型定理.在第三章中,给出了扩散算子第一特征值的一个上界.设L=△-▽φ.▽是定义在完备黎曼流形上的一个对称扩散算子.如果流形上的m-维Bakry-Emery Ricci曲率满足Ricm,n(L)≥-(n-1),那么可以得到扩散算子L第一特征值的个上界估计.此结果推广了郑绍远的关于Laplacian第一特征值的一个上界估计的结果.在第四章中,一方面,研究了完备流形上一个非线性热型方程的Harnack估计.首先,给出了非线性热型方程正解的Li-Yau型局部Harnack估计；其次,黎曼度量在一般几何流演化下,给出了其正解的椭圆型局部Harnack估计.这些结果推广了许多重要的梯度估计,而且也给出了L.Ma所提出问题的另外一种解答.另一方面,建立了一种有趣的插值Harngalil>中国人民解放军军语
ack不等式,它联系了热方程限制性的Li-Yau Harnack不等式和闭曲面上Ricci流的限制性的Chow-Hamilton Harnack不等式.这个结果推广了B. Chow的插值Harnack不等式.在第五章中,主要研究了黎曼orbifolds上度量的Ricci形变问题.我们证明了：任何紧致具有正数量曲率的n-维(n≥4)黎曼orbifold,若它的Weyl曲率张量和Ricci曲率张量的范数与数量曲率比较不算大,则它可Ricci形变到一个常正曲率的黎曼orbifold此结果不但把G. Huisken关于黎曼流形的结果推广到黎曼orbifold上,而且把R. Hamilton关于3-维黎曼orbifold的结果推广到高维情形.最后,我们研究了完备非紧流形上Yamabe流的几何性质问题.主要证明了在Yamabe流下的局部Bernstein-Bando-Shi类型的梯度估计,以及运用它们给出了局部共形平坦流形上Yamabe流的紧性定理.在局部共形平坦流形上,调查了在Yamabe流下的两个几何不变量(渐近体积比和渐近数量曲率比)；同时证明了在此类流形上,任何Yamabe流的曲率算子正的且有界的TypeⅠancient解具有无穷的渐近数量曲率.另外,讨论了完备非紧的Yamabe solitons与其流形的拓扑关系.还给出了Yamabe流的维数约化定理及其它的应用.关于进一步规范地方政府举债融资行为的通知
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