从艺术中的天使和恶魔，顾险峰教授带您走进几何学的曼妙风景，讲述我们生活的十维宇宙。
另请关注顾险峰教授本周六关于庞加莱猜想的科普讲座（今日三条）。回复“智商”，还可阅读顾教授描述如何从大脑形状判断一个人的智商。关中奶山羊养殖技术
大学时的室友蒋步星是古典吉他的狂热爱好者, 他最为喜爱的吉他曲是西班牙著名吉他作曲家泰雷加的《阿尔罕布拉宫的回忆》。他的演奏意境深远，出神入化。全曲的旋律从头至尾都用轮指来演奏，颤音的效果令人心碎。精妙地描画出阿尔罕布拉宫昔日的辉煌华丽，也叹惋着历史变迁的无情。
阿尔罕布拉宫(Alhambra Palace)为中世纪阿拉伯摩尔人在西班牙建立的格拉纳达王国的王宫。因为伊斯兰艺术中禁止偶像崇拜，王宫的装饰上用到了大量的对称的图案。1922年，荷兰著名艺术家埃舍尔参观了阿尔罕布拉宫，这成为他一生中的至关重要的转折点。他为王宫中镶嵌图案的巨大精神力量所震撼，沉浸在无尽的对称模式之中。这激发他创作了大量的杰
作，将深邃抽象的几何和完美精妙的艺术相结合，揭示了自然的真理，挑战着人类的想象力。
封开论坛“天使和恶魔”一直是埃舍尔所钟爱的主题，他的一生中曾为之创作了三件不朽的作品。创作历程几近二十年。
欧几里得平面上的镶嵌，1941（No.45)
球面上的镶嵌， 1942（Sphere with Angles and Devils）
和双曲空间上的镶嵌，1960（ Circle Limit IV） 埃舍尔在1941年创作了在欧几里得平面上的天使和恶魔的镶嵌，这一版本最为直观。白的前景是双翼天使，黑背景是蝙蝠状的恶魔。当我们凝视天使的时候，恶魔隐身为背景；当我们注视恶魔的时候，天使融为背景。但是，每个人都无法同时既看到天使又看到恶魔。这一点非常具有哲理，天使和恶魔既对立又统一，两者相互克服而又相互依存。真实的世界是由天使和恶魔交织而成，我们应当注视天使而对恶魔视而不见，还是被恶魔摄取魂魄而对天使失去信心？这里，任何两个天使都是同样大小，彼此相差一个平移，旋转和镜像反射，亦即欧氏空间的刚体变换。
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第二年，埃舍尔用枫木雕刻了球面上天使和恶魔的镶嵌。天使和恶魔相互衬托，对比更为强烈。同样，任何两个天使之间相差一个球面的刚体变换，即三维欧氏空间的旋转加反射。
二十年后，埃舍尔技艺炉火纯青，登峰造极，创作出双曲空间中天使和恶魔的镶嵌。从欧氏几何到球面几何，埃舍尔只用了一年，但是从球面几何到双曲几何，埃舍尔花了二十年，全人类则花了近两千年。
在历史上很长的一段时间里，人们一直认为欧几里得的几何是唯一“真实”的几何。欧氏公理体系中的平行公设一直被认为是不辨自明的：过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。许多几何学家力图用其他公理来证明这一公理，从而将平行公设降为定理。无数艰辛的探索最终都归为失败。罗巴切夫斯基毅然用和平行公设相矛盾的命题将其替换：过直线外一点，有无穷条直线和已知直线平行，在逻辑上无懈可击地发展出一系列的定理，从而建立了非欧几何。非欧几何在直觉上匪夷所思，在逻辑上却是毫无矛盾。这使得严肃的数学家们深深地困惑。对绝大多数人而言，这似乎证明了纯粹数学很多时候不过是无聊的思维游戏。庞加莱构造了双曲空间的模型，从而使得玄虚的双曲几何变得坚实而直观。埃舍尔的第三幅天使和恶魔就是庞加莱思想的艺术表现。 工业总产值
日常生活中曲率为负的曲面有很多，最为常见的是马鞍面。但是，整体的负曲率曲面无法在三维欧氏空间中光滑地嵌入。因此，对于整体双曲平面的感知超出人们的感官经验，只
能付诸于想象和逻辑。庞加莱圆盘实际上是双曲平面的参数域，而非双曲平面本身。庞加莱圆盘上的黎曼度量和欧几里得圆盘的度量之间相差一个函数，即所谓的共形因子。在圆盘中心，共形因子为1，双曲度量和欧氏度量一致；在圆盘边界，共形因子趋向无穷。如果有一个人从圆盘中心沿一条直径向边界匀速奔跑，那么他将永远也无法到达边界。在埃舍尔的双曲天使和恶魔镶嵌画作中，所有的天使都是等面积的，并且彼此相差一个双曲的刚体变换。同样，所有的恶魔都是等面积的，彼此也相差一个双曲的刚体变换。相对于欧氏几何和球面几何而言，双曲几何具有更多的对称性。
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