近年来，高考数学试题命制以学科素养为导向，以关键数学能力考查为重点[1]。压轴题立足科学前沿，从科研期刊、博士论文和专业书籍中选择合适素材，把部分高等数学知识融入到高考人才选拔中，考查学生运用新知识解决问题的能力[2,3]。同时，也兼顾初等数学方法，从而达到一题多解，并较好地甄别学生的数学能力，实现数学竞赛、自主招生、高考人才选拔三者衔接的目的[4]。本文分析了近年来全国高考压轴题所涉及的知识点，梳理出了全国高考压轴题中高频出现的高等数学知识，并对这些知识点进行了解析。同时，结合全国高考数学卷真题，分析研究了运用高等数学知识解答高考压轴题的方法，以期帮助学生增强数学思维能力，培养运用高等数学知识解决初等数学问题的能力。 一、压轴题中高频出现的高等数学知识1.洛必达法则
2.Lagrange 中值定理（微分中值定理）
3.泰勒级数
4.仿射（坐标）变换
5.极值点偏移、“二元”问题
6.柯西不等式
7.特征根方程
二、全国卷题目解法研究1.洛必达法则高考真题及解析
2011年全国新课标理科卷第22题是应用洛必达法则考查极值的经典案例，其题干为：已知函
数
曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线方
收稿日期：2020-07-13基金项目：贵州省教育厅高考综合改革研究专项课题（黔财教181号）
作者简介：苏明刚，男，四川泸州人，遵义天立学校副校长、课程质量部部长，高级教师，主要从事数学科教学及学校教学管理。
数学高考压轴题中高频出现的高等数学知识点及解题方法
苏明刚1，陈明2
（1.遵义天立学校，贵州遵义563000；2.遵义师范学院数学学院，贵州遵义563006） 摘
要：高考数学压轴题以部分高等数学基础性定理、性质作为命题方向或命题背景，同时也兼顾纯初等数学方法，从而达到一
题多解。本文总结了近年来高考数学卷中高频出现的高等数学知识点，分析了解题思路，通过高考真题演示了解题方法。关键词：高考；数学卷；压轴题；高等数学；解题方法
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中图分类法：G634文献标识码：
A 文章编号：1009-3583（2020）
-0105-03The Knowledge Points and oblem-solving Methods of Higher Mathematics Which Appear Frequently in the Finale of
Mathematics College Entrance Examination
SU Ming-gang 1,CHEN Ming 2
（1.Zunyi Tianli School,Zunyi 563000,China;2.School of Mathematics,Zunyi Normal University,Zunyi 563006,China
)
The mathematical finale of the college entrance examination takes part of the basic theorems and properties of higher mathe-matics as the proposition direction or background,as well as pure elementary mathematical methods,so as to achieve multiple solutions to one problem.This paper summarizes the knowledge points of higher mathematics which appear frequently in the mathematics papers of college entrance examination in recent years,analyzes the ideas of solving problems,and demonstrates the methods of solving prob-lems through the demonstration of real questions in college entrance
美国人的性生活examination.
college entrance examination;mathematics paper;final problem;higher mathematics;problem-solving method
第22卷第6期
2020年12月
遵义师范学院学报
Journal of Zunyi Normal University
V ol.22,No.6Dec.2020
第22卷第6期
遵义师范学院学报2020年12月
程为
.
（Ⅰ）求a 、
b 的值；（Ⅱ）如果当x ＞0，且时x ≠1
求k 的取值范围。
运用洛必达法则解答过程如下：（Ⅰ）解得a=1、b=1.（解略）（Ⅱ）由题设可得，当时x ＞0，x ≠1
，恒成立。
故当x ∈0,1时，h ＂x ＜0，当时x ∈1,+∞，h ＂x ＞0；∴h ＇(x )在(0，1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数；故h ＇
(x )>h ＇(1)=0∴h (x )在(0,+∞)上为增函数,h (1)=0.
∴当x ∈(0,1)时，h (x )＜0，当x ∈(1,+∞
)时，h (x )＞0
∴当x ∈(0,1)时，g ＇(x )＜0，当x ∈(1,+∞)时，g ＇(x )＞0
g (x )在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数由洛必达法则知
∴k ≤0，即k 的取值范围为-∞，
0］类例：
仿明清家具(2010年全国新课标理)设函数.
鱼肝油丸是哪一种维生素
（1）若a =0，求f (x )的单调区间；（2）若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围.2.Lagrange 中值定理高考真题及解析
2008年
全国理科卷第22题是应用微分中值定理求最值的经典案例，其题干为：设函数
（Ⅰ）求f (x )的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何x ≥0，都有f (x )
≤ax ，求a 的取值范围.
运用微分中值定理解答过程如下：（Ⅰ）解：由f (x )＇＞0得单增区间：由f (x )＇＜0得单增区间：
（Ⅱ）证明：当x =0时，显然对任何a ，都有f (x )≤
由k ∈N 知，当x ＞0时，f
＇x 的最大值为
.所以
，的最大值
.为了使
恒成立，应
有
.所以a 的取值范
除上题外，2007年高考全国卷1第20题（见类例1）和2009年辽宁卷理工卷21题（见类例2）也是运用中值定理命制高考压轴题的典型。
类例1：（2007年高考全国卷I 第20题）设函数
.
（Ⅰ）证明：
f (x )的导数f ＇(x )≥2；（Ⅱ）证明：若对所有x ≥0，都有f (x )≥ax ，则a
的取值范围是(-∞，
2］.类例2：（2009年辽宁卷理21题）已知函数
（Ⅰ）讨论函数f (x )的单调性；（Ⅱ）证明：若a ＜5，则对任意，
x 1≠x 2，3.泰勒级数高考真题及解析
2014年全国课标1理工卷21就是应用泰勒展式求最值的经典案例，其题干为：设函数
曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线为y =e (x-1)+2.
(Ⅰ)求a ，b ；（Ⅱ）证明：f (x )＞1.解析：(Ⅰ)a =1，b =2；（Ⅱ）证明：，故，即∴
，
∴
证毕。
除上题外，2013年高考全国卷第21题（见类例1）和2010年全国卷理科21题（见类例2）也是运用泰勒展式命制高考压轴题的典型。
类例1：（2013年全国卷21题）已知函数
.
（Ⅰ）设x =0是f (x )的极值点，求m 并讨论f (x )的单调性；
（Ⅱ）当m ≤2时，证明f (x )＞0注:
说明：f (x )=e x 在x =0处的泰勒展开式
为
可以由在e 处的展开式直接
得到。
类例2：（2010年全国卷理科21题）设函数f (x )
.
（2）问：若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围。注：根据f (x )=e x 在x=0处的泰勒展开式
得
即得a 的范围
.
4.仿射（坐标）变换高考真题及解析
2015年全国卷20题就是应用坐标仿射变换解题的经典案例，其题干为：已知椭圆C ：
，直
线不过原点O 且不平行于坐标轴，与C 有两个交点A 、B ，线段AB 的中点为M .
（I ）证明：直线OM 的斜率
与的斜率的乘积为定值；
（II ）
若过
延长线段OM 与C 交于点
P ，四边形OABP 能否平行四边行？若能，求此
时的斜率，若不能，说明理由.
解析：（I ）仿射变
成圆方
程
∴∴
.
（II ）只需变换后的
为菱形，变换后过的
直
线
的距离为r 一半，可
求得
除上题外，2014年全国卷第20题（见类例）
也是运用坐标变换命制高考压轴
题的典型。
类例：（2014年全国卷20题）已知点A (0，-2)
，椭圆E 的离心
率F 是
椭圆的焦点，直
线AF 的斜率O 为坐标原点.（Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，
求的方程.5.极值点偏移高考真题及解析
2016年全国卷21题涉及运用极值点偏移（或运用对数平均不等式）解题的经典案例，其题干为：已知函数
有两个零点.
（Ⅰ）求a 的取值范围；
热波（Ⅱ）设x 1，x 2，是的两个零点，证明：x 1+x 2＜2解析：（Ⅰ）略
（Ⅱ）不妨设x 1＜x 2，
由（Ⅰ）知x 1∈(-∞,1)，x 2∈(1,+∞)，2-x 2∈(-∞,1)，f (x )在(-∞,1)上单调递减，所以x 1+x 2＜2等价于f (x 1)＞f (2-x 2)，即f (2-x 2)＜0．
由于
，而
，所以
．设
，则
.
所以当x ＞1.时，f ＇(x )＜0，而g (1)=0，故当x ＞1时，g (x )＜0.
从而g (x 2)=f (2-x 2)＜0，
故x 1+x 2＜2除上题外，2011年辽宁卷21题（见类例）也是运用极值点偏移（或运用对数平均不等式）解题的经典案例。
类例：（2011年辽宁卷21题）已知函
数
．
（I ）讨论f (x )的
单调性；（II ）设a
＞
0，证明：
当
（III ）若函数y =f (x )的图像与x 轴交于，两
点，线段中点的横坐标为0，证明f ＇(x 0)＜0：高考压轴题中高频出现可用高等数学知识解题的情况除了上述例题外，还有以下例题。
(下转115页)苏明刚等·数学高考压轴题中高频出现的高等数学知识点及解题方法
来贺电，勉励学员们“为加强团结，坚固国防，建设新中国而努力”。西南局书记则为该校题词：“各兄弟民族团结在和中央人民政府的周围，建设一个独立强盛繁荣幸福的新中国”。 总之，民族院校通过多种方式对新生开展民族团结教育，并取得了明显成效。经过教育，各族学生解除了思想顾虑，民族院校成为民族团结的窗口和典范。广西民族学院“同学间团结友爱的好人好事层出
不穷。有的同学利用课外时间给学习上有困难的同学补课；有的帮助生病的同学医生、拿药、打水端饭、洗衣倒便桶；有的同学去看病困难，除了本民族的同学帮忙照顾外，其他民族的同学也来帮忙”[5]。西南民族学院“经过教育之后，各族学生都自觉地订立了团结公约，开展了‘交朋友’‘一帮一’的活动，院内呈现一片团结友爱，亲密无间的融洽气氛”[2]。云南民族学院“各族学员和睦相处，亲如一家。一人有困难，大家来帮助；一人生了病，大家齐关心。各族学员之间，形成了互相尊重、平等团结、友爱合作的好风气”[8]。参考文献：
[1]中国人民政治协商会议贵州省委员会文史资料研究委员
会.回顾贵州解放(2)[M].贵阳：贵州人民出版社,1983. [2]《西南民族学院院史》编辑室.西南民族学院院史(1951-1991)
[M].成都：四川民族出版社,1991.
[3]李力.云南民族学院四十年(1951-1991)[M].昆明：云南大学
出版社,1990.
[4]中南民族学院校史编写室.中南民族学院简史(1951-1979)
第三方环境检测机构管理[M].内部资料,1988.
[5]《广西民族学院院史》编辑委员会.广西民族学院院史[M].南
宁：广西人民出版社,1991.
[6]贵州民族学院院史编写组.贵州民族学院院史(1951-1991)
[M].内部资料,1991.
[7]西北民族学院校史编写委员会.西北民族学院校史[M].兰
州：甘肃民族出版社,2000.
[8]中国人民政治协商会议云南省委员会文史资料委员会.云
南文史资料选辑第44辑：云南民族工作回忆录（1）[M].昆明：云南人民出版社,1993.
[9]张天伟.深切的缅怀永远的激励——纪念为西南民
族学院题词和发表重要讲话五十[J].西南民族大学学报（人文社科版），2004(7)：1.
（责任编辑：娄刚）
(上接107页)（1）运用特征根方程方法求数列通项公式，利用单调有界原理：①单调递增有上界的数列必有极限，且它的极限等于数列上确界；②单调递减有下界的数列必有极限，且它的极限等于数列下确界，解决极限等问题，如2014年重庆卷22题。（2）利用柯西不等式解决最值问题，如2008年全国卷理科21
题。（3）运用绝对值和函
数贝努利
(Bernoulli)不等式知识的2016年全国三卷文科21题等。
三、结束语
除了可用高等数学中的定理来直接解题外，高考数学压轴题的命制往往还涉及到一些数学思想方法的渗透，如：极端性思维方法、合情推理思维方法、对称与转化思想方法、函数与方程思想方法等。这使得高考压轴题，特别是全国卷压轴题试题往往呈现出浓厚的高等数学背景，导致解法的多样性，也引导着课堂内外的教与学的方向。因此，了解和掌握一些高等数学内容及思维方法，有选择的进行对这些在高考中高频出现的知识先学先修，可以使得学生在解决有关问题时思路更清晰，同时也有助于
提升学生思维能力，拓宽解题方法和提高解题技能。
参考文献：
[1]李红庆，刘中维，郑月姣.2019年高考数学命题——可谓言之“既”预——仅以高考数学（理Ⅱ）卷为例谈论素养导向下的数学命题[J]数学通报,2019(7):31-35.
[2]袁利国，郭军，房少梅.高等数学与高中数学的衔接比较研究
[J].大学教育,2016(11):140-143.
[3]张艳，阿力非日.从高考数学谈高等数学与初等数学结合教
学的必要性[J].西昌学院学报（自然科学版）,2019(1):117-120.
[4]金蒙伟，李胜宏.从自主招生到竞赛[M].杭州：浙江大学出版
社,2014.
(责任编辑：陈明)
刘鹤等·建国初期民族院校对新生的民族团结教育
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