2011年湖南省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（）
A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=﹣1，b=﹣1 D．a=1，b=﹣1
2．（5分）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
3．（5分）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．9π+42 B．36π+18 C． D．
4．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男女总计
爱好402060
不爱好203050
总计6050110
由算得，．
P（K2≥k）0.0500.0100.001
k 3.841 6.63510.828
参照附表，得到的正确结论是（）
集合与函数概念A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
5．（5分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为
（）
路政信息A．4 B．3 C．2 D．1
6．（5分）由直线x=﹣，x=，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）
A．B．1 C．D．
7．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，
则m的取值范围为（）
山东省劳动厅A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3） D．（3，+∞）
8．（5分）设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）
浙西三瀑布记A．1 B．C．D．
女上装
二、填空题（共8小题，每小题5分，满分35分）
9．（5分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为p（cosθ﹣sinθ）+1=0，则C1与C2的交点个数为．
10．（5分）设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为．
11．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为．
12．（5分）设S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且a1=1，a4=7，则S9=．13．（5分）若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2=2，x3=3，=2，则输出的数等于．
14．（5分）在边长为1的正三角形ABC中，设，，则=．15．（5分）如图，EFGH 是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则
（1）P（A）=；
（2）P（B|A）=．
16．（5分）对于n∈N+，将n 表示n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×21+a k×20，当i=0时，a i=1，当1≤i≤k时，a1为0或1．记I（n）为上述表示中a i为0的个数（例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4）=2），则
（1）I（12）=；（2）=．
三、解答题（共6小题，满分75分）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC 1）求角C大小；
（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．18．（12分）某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量（件）0123频数1595
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．辽宁医学院护理学院
（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在圆锥PO中，已知PO=，⊙O的直径AB=2，C是的中点，D为AC的中点．
（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．
20．（13分）如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣c|×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值
为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．
21．（13分）如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线
C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．
（i）证明：MD⊥ME；
（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？
请说明理由．
22．（13分）已知函数f（x）=x3，g （x）=x+．
（Ⅰ）求函数h （x）=f（x）﹣g （x）的零点个数．并说明理由；
（Ⅱ）设数列{a n}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f（a n+1）=g（a n），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a n≤M．
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