2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷二）理科数学
一、 选择题
（1） 复数，为的共轭复数，则 A.-2i B.-I C.i D.2i
（2） 函数的反函数为 A. B. C. D.
（3） 下面四个条件中，使得成立的充分不必要条件是 A. B. C. D.
（4） 设为等差数列的前项和，若，公差，，则 A.8 B.7 C.6 D.5
（5） 设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得到的图像与原图像重合，则的最小值等于A. B.3 C.6 D.9 （6） 已知直二面角，点，C为垂足，点，D为垂足。若，，则D到平面ABC的距离为 A. B. C. D. （7） 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法有
A.4种 B.10种 C.18种 D.20种
（8） 曲线，在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为A. B. C. D. （9） 设是周期为2的奇函数，当时，五月槐花香主题曲，则
A. B. C. D.
（10） 已知抛物线的焦点为F，直线与C交与A，B两点，则
A. B. C. D.
（11） 已知平面截球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面的半径为4，圆M面积为，则圆N的面积为
A. B. C. D.
（12） 设向量满足，则的最大值为 A.2 B. C. D.1
二、 填空题
（13）的二项展开式中，x的系数与的系数之差为__________。
（14）已知，,则=__________。
（15）已知F1、F2 分别为双曲线的左右焦点，点，点M的坐标为(2,0)，为的平分线，则_________。
（16）已知点E、F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱上，且，则面AEF与ABC所成的二面角的正切值等于__________。
三、解答题
（17）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，求C。
（18）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。 （I） 求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中一种的概率。
（II）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。
（19）如图，四棱锥中，，侧面为等边，，.
（I） 证明：；
（II）求与平面所成角的大小。
（20）设数列满足且.
（I） 求的通项公式；
（II）设，记，证明：.
（21）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A、B两点，点P满足 .
（I） 证明：点P在C上；
（II）设点P关于点O的对称点为Q，证明四点在同一圆上。
（22）设函数。
（I） 证明：当时，；
（II）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p。证明：。
参考答案
一、 选择题
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
B | B | A | D | C | C | B | A | A | D | D | A |
| | | | | | | | | | | |
二、填空题 13、0 14、 15、6 16、
三、解答题
（17）（10分）
由及正弦定理可得（3分）
又由于,所以
……7分
……10分
（18）（12分）
解：记A“有一位车主购买甲种保险”，B“车主买乙种保险但不购买甲种保险”，C“至少购买一种保险”，D“两种保险都不购买”
（I） ……6分
白血病女孩王一（II) 所以……10分
因为所以……12分
（19）（12分）
解法一：
（I） AB中点E，连结SE，则.
又，故,
所以是直角 ……3分
由,所以
SD与两条相交直线AB、SE都垂直
所以 ……6分
（II） 由知，平面
作,垂足为F，则，.
作，G为垂足，则.
连结SG则.
又，故……9分
作,H为垂足，则
又，F到平面SBC的距离为.
由于海陵文教网所以，E到平面SBC的距离d为。
设AB与平面SBC所成的角为，则……12分
解法二：
（I） 以C为坐标原点，射线CD为envision法x正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz。
设D(1,0,0)，则A(2,2,0)、B(0,2,0).
又设，则.
易得
由得,
故.
由得.
又得
即，所以. ……3分
所以.
则 .
所以，又，
蒂利斯汉堡加盟所以。 ……6分
（II） 设平面的法向量为，
则
故 ……9分
取得，又 ，
得
AB与平面SBC所成的角大小为 ……12分
（20）（12分）
解：
韩炼润滑油
（I） 由题设，
即是公差为1的等差数列。
又故
得. ……5分
（II） 由（I）中结论
……8分
……12分
（21）（12分）
解：
（I） ，l的方程为，代入并化简得 ……2分
设，
则，
得
得
所以点P的坐标为，验证得P在椭圆上。……6分
（II） 由，知，的垂直平分线的方程为
设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线的方程为
联立，得， ……9分
……12分
（22）
解：
（I） . ……2分
当时，，所以当， ……5分
（II） .
又，
所以 ……9分
由（I）知：当，，
所以.
令则,
所以
综上： ……12分
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