2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(全国卷)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．
第Ⅰ卷
第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则( )
A．－2i B．－i C．i D．2i
2．函数y＝2 (x≥0)的反函数为( )
A． (x∈R) B． (x≥0)
C．y＝4x2(x∈R) D．y＝4x2(x≥0)
3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( 咕噜姆)
A．a＞b＋1 B．a＞b－1
C．a2＞b2 D．a3＞b3
4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－应激反应Sk＝24，则k＝( )
A．8 B．7 C．6 D．5
5．设函数f(x)＝cosωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( ) A. B．3 C．6 D．9
6．已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD陶瓷颗粒＝1，则D到平面ABC的距离等于( ) A. B． C． D．1
7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
8．曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A. B． C． D．1
9．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－)＝( )
A． B． C． D．
10．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝( )
A. B． C． D．
11．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为( )
A．7π B．9π C．11π D．13π
12．设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于( )
A．2 B． C． D．1
第Ⅱ卷
第Ⅱ卷共10小题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为______．
14．已知，，则tan2α＝______.
15．已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F锦屏泥石流1AF2的平分线，则|AF2|＝______.
16．已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A－C＝90°，，求C.
18．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2) X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．
19．如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.
(1)证明：SD⊥平面SAB；
(2)求AB与平面SBC所成的角的大小．
20．设数列{an}满足a1＝0且.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设，记，证明：Sn＜1.
21．已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，点P满足.
(1)证明：点P在C上；
(2)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A，P，B，Q四点在同一圆上．
22．(1)设函数，证明：当x＞0时，f(x)＞0；
(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：.
参考答案
1．B 2．B 3．A 4．D 5．C 6．C 7．B 8． A 9．A 10．D11．D 12．A
13．答案：0
14．答案：
15．答案：6
16．答案：
17．解：由及正弦定理可得
.
又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，故
.
，.
因为0°＜C＜90°，
所以2C＝45°－C，C＝15°.
18．解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；
D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
X～B(100，0.2)，即X服从二项分布，
所以期望EX＝100×0.2＝20.
19．解法一：
(1)取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE＝CB＝2.
连结SE，
则SE⊥AB，.
又SD＝1，故ED2＝SE2＋SD2，
所以∠DSE为直角．
由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE＝E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD.
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SD与两条相交直线AB、SE都垂直．
所以SD⊥平面SAB.
(2)由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE.
作SF⊥DE，垂足为F，
则SF⊥平面ABCD，.
作FG⊥BC，垂足为G，则FG＝DC＝1.
连结SG，则SG⊥BC.
又BC⊥FG，SG∩FG＝G，故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG.
作FH⊥SG，H为垂足，则FH⊥平面SBC.
，即F到平面SBC的距离为.
由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，E到平面SBC的距离d也为.
设AB与平面SBC所成的角为α，
则，.
解法二：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
设D(1，0，0)，则A(2，2，0)，B(0，2，0)．
又设S(x，y，z)，则x＞0，y＞0，z＞0，
(1)＝(x－2，y－2，z)，＝(x，y－2，z)，＝(x－1，y，z)，
由得
，
故x＝1.
由得y2＋z2＝1，
又由得x2＋(y－2)2＋z2＝4，
即y2＋z2－4y＋1＝0，故，.
于是，，，，，.
故DS氯化氢⊥AS，DS⊥BS，又AS∩BS＝S，
所以SD⊥平面SAB.
(2)设平面SBC的法向量a＝(m，n，p)，
则，，，.
又，，
故
取p＝2得．又，
.
故AB与平面SBC所成的角为.
20．解：(1)由题设，
即{}是公差为1的等差数列．
又，故.
所以.
(2)由(1)得，
.
21．解：(1)F(0，1)，l的方程为，代入并化简得.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，
则，，
，，
由题意得，y3＝－(y1＋y2)＝－1.
所以点P的坐标为．
经验证，点P的坐标)满足方程，故点P在椭圆C上．
(2)由P和题设知，Q，PQ的垂直平分线l1的方程为.①
设AB的中点为M，则M，AB的垂直平分线l2的方程为.②
由①②得l1、l2的交点为N，
，
，
，，
，
故|NP|＝|NA|.
又|NP|＝|NQ|，|NA|＝|NB|，
所以|NA|＝|NP|＝|NB|＝|NQ|，
由此知A，P，B，Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上．
22．解：(1)
当x＞0时，f′(x)＞0，所以f(x)为增函数．又f(0)＝0，因此当x＞0时，f(x)＞0.
(2).
又99×81＜902，98×82＜902，…，91×89＜902，
所以.
由(1)知：当x＞0时，，
因此.
在上式中，令，则，即.
所以.
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