2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
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日期： 2011 年 9 月 12 日
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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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摘要
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。城市工业、经济的发展，污水排放和汽车尾气排放等均能引起城市表层土壤重金属污染。而重金属污染对城市环境和人类健康造成了严重的威胁，因此对城市表层土壤重金属污染的研究具有重大意义。
对于问题1，先用MATLAB软件对所给数据进行处理，插值拟合得出8种主要重金属元素在该城区的空间分布图；再用内梅罗综合污染指数评价法建立模型进行求解。首先用EXCEL对数据进行分析，得出各区的8种重金属的平均浓度；然后结合MATLAB软件求出各区的单项污染指数和综合污染指数，进而得出各区的综合污染等级，如下表： 区域 | 生活区 | 工业区 | 山区 | 主干道路区 | 公园绿地区 |
污染等级 | 重污染 | 重污染 | 轻度污染 | 重污染 | 中度污染 |
| | | | | |
对于问题2，先借助SPSS软件对各种重金属元素的浓度和海拔做相关性分析，得出各种元素之间及其与海拔之间的相关系数矩阵和相关度；然后结合第一问给出的空间分布图和区
域散点图，参照主要重金属含量土壤单项污染的指数，分析得出各重金属污染的主要原因主要来自工业区、主干道路区和生活区。
对于问题3，由上述问题的分析可以认为重金属的分布是连续的，物质的扩散从高浓度向低浓度进行。在模型一数据处理基础上建立遍历搜索模型，结合MATLAB软件求出重金属空间分布中的极值点即可能的污染源，得出极值点后再结合《国家土壤环境质量标准》通过MATLAB软件对极值点进行筛选，得出8种重金属元素的主要污染源。
对于问题4，对所建立的模型进行分析，出了各个模型的优缺点。然后分析影响城市地质演化模型的因素，为更好地研究城市地质环境的演变模式，从动态和多元的角度出发，还应搜集采样点的长期动态数据和岩石、土壤、大气、水和生物等因素的相关信息，分别建立动态动态传播模型和城市地质环境的综合评价预测模型。
关键词：梅罗综合污染指数评价法 污染等级 相关矩阵 遍历搜索模型 污染源
一 、问题重述
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突
出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
布谷鸟2010
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0-10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。
现要求通过数学建模来完成以下任务：
(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染
程度。
(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
(4) 分析所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？
二、模型假设
1、 假设题目中所给数据可靠无误。
2、 假设问题一中各区平均的污染程度可以看做该区的污染程度。
3、 假设问题二中只考虑题目中所给的8中重金属，不考虑其它重金属。
4、 假设重金属传播特征不受风向等因素影响。
三、问题分析
(一) 问题1的分析：
问题1属于空间分布和综合评价问题，重金属的传播过程是一个扩散的过程，通常物质扩散模型中物质从高浓度向低浓度扩散且其浓度的分布是连续的，据此我们可以用附表中所给的采样点污染数据为基础借助MATLAB软件[1]进行插值拟合得出8种主要重金属污染物在整个城区的空间分布图。对于该城区内不同区域重金属的污染程度的研究可以借助我国《土壤监测技术规范》(HJ/T 166-2004)[2]中推荐的内梅罗综合污染指数法进行评价，求出不同区域重金属的污染等级。
(二) 问题2的分析：
问题2要求通过数据分析来说明重金属污染的主要原因。首先可以对重金属和海拔进行相关性分析，得出相关矩阵和相关度，再结合问题一求出的结论分析出重金属可能的主要来源和重金属污染的主要原因。
(三) 问题3的分析：
由问题一的分析我们得知重金属的分布是连续的，同时我们还可以知道物质的扩散是从高
浓度向低浓度进行的，在扩散模型中某区域浓度最高的点可能就是扩散源，所以重金属空间分布中的极值点就可能是重金属的传播模型中污染源。因此问题三的求解就转化为在模型一所拟合出的重金属空间分布曲面上搜索极值的问题。搜索极值的现代算法有模拟退火，遗传算法，鱼算法等多种。考虑的模型中所搜索的域有限，且目标解数目不确定，遍历搜索是较好的方法。得出极值点后再结合国家土壤环境质量标准筛选出污染源。
(四) 问题4的分析：
首先应对问题一，二，三所建立的模型进行优缺点分析然后根据影响城市演化模型的因素，分析还应搜集的数据以及模型如何建立的问题。
四、符号说明
符号设定 | 符号说明 |
Pij | 区域i中第j个重金属的污染分指数 |
Cj | 第j个重金属的实测浓度 |
Sj | 第j元素的评价标准 |
ria技术PN | 综合污染指数 |
Pj,ave | 平均单项污染指数 |
Pj,max | 最大单项污染指数 |
z | 浓度分布矩阵 |
| |
注：在此没有设定的符号在下文中会具体说明。
五、模型的建立及求解
一、问题一的求解：
1.1 用MATLAB软件对所给数据进行插值拟合得出调查区的地形图和8种主要重金属元素在该城区的空间分布图，再用MATLAB软件对所给数据进行分析得出功能区散点图：
图1：调查地区的地形图
图2：功能区散点图
图3：砷和镉在该城区的空间分布图
图4：铬和铜在该城区的空间分布图
图5：汞和镍在该城区的空间分布图
图6：铅和锌在该城区的空间分布图
说明：图1的Z轴为海拔高度，X、Y轴为地理坐标值（单位：m）。
图2 的X、Y轴为地理坐标值（单位：m）。
图3-图6的Z轴为重金属元素的浓度（单位：μg/g），X、Y轴为地理坐标值（单位：m）。国防
1.2 模型建立：
土壤环境质量单项污染指数主要用来评价某一污染物的污染程度，指数小污染轻，指数大污染则重。但区域内土壤环境质量作为一个整体和外区域进行比较时除用单项污染指数外，还常用综合污染指数。综合污染指数可以综合判断某土壤多种污染物的联合污染效应。
目前土壤环境质量评价方法有很多，各有优点和缺点。本文根据我国《土壤监测技术规范》(HJ/T 166-2004)[2]中推荐的内梅罗综合污染指数法进行评价。在计算某个区域某种重金属单项污染指数(分指数)的基础上，再计算该区域多种重金属的综合污染指数。单项污染指数和综合污染指数的计算公式如下：
套利定价模型（1）
（2）
当Pij≤1时，表示土壤未受该因子污染，当Pij >1时，表示土壤受该因子污染。内梅罗综合污染指数反映了各污染物对土壤的作用，同时突出了高浓度污染物对土壤环境质量的影响。根据HJ/T 166-2004,内梅罗综合污染指数的分级标准（见表1），得出各个区域的污染等级。
表1：内梅罗综合污染指数的分级标准
等级 | 内梅罗污染指数 | 污染等级 |
1 | PN≤0.7 | 清洁（安全） |
2 | 0.7＜PN≤1.0 | 尚清洁（警戒线） |
3 | 1.0＜PN≤2.0 | 轻度污染 |
4 | 2.0＜P十年体N≤3.0 | 中度污染 |
5 | PN＞3.0 | 重污染 |
| | |
1.3 模型求解：
本文以背景值作为评价标准进行求解，用EXCEL对文中所给数据进行分类，把数据分入1类区、2类区、3类区、4类区、5类区。然后得出各个区里面主要重金属含量的平均值，可看作各区中主要重金属含量值。如下表：
表2：各区重金属含量的平均值
区域 | As (μg/g) | Cd (ng/g) | Cr (μg/g) | Cu (μg/g) | Hg (ng/g) | Ni (μg/g) | Pb (μg/g) | Zn (μg/g) |
1 | 6.27 | 289.96 | 69.02 | 49.4 | 93.04 | 18.34 | 69.11 | 237.01 |
2 | 7.25 | 393.11 | 53.41 | 127.54 | 642.36 | 19.81 | 93.04 | 277.93 |
3 | 4.04 | 152.32 | 38.96 | 17.32 | 40.96 | 15.45 | 36.56 | 73.29 |
4 | 5.71 | 360.01 | 58.05 | 62.21 | 446.82 | 17.62 | 63.53 | 242.85 |
5 | 6.26 | 280.54 | 43.64 | 30.19 | 114.99 | 15.29 | 60.71 | 154.24 |
| | | | | | | | | 缺8数
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