第一课时
2、理解二面角的平面角的含义．提升学生的数学抽象素养. 3、作二面角并求出二面角的大小，提高逻辑推理、数学运算的数学素养．
教学重点：二面角的概念．
教学难点：作二面角并求出二面角的大小．
PPT课件．
一、整体概览
问题1：阅读课本第滑稽戏满园春47-50页，回答下列问题： （1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.
预设的答案：
（1）本节主要学习二面角第一课时二面角及其度量．
（2）学生在学习了异面直线所成角的概念及线面角的基础上，对空间角的问题有了一定的
经验，二面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开．为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台．
设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.
二、探索新知
形成定义
问题2：日常生活中，很多场景中都有平面与平面呈一定角度的形象，例如如图（1）所示，在建造大坝时为了加固大坝大巴外侧的平面，一般于水平面呈一定角度，如图（2）所示，很多屋顶都是二面角的形象，
你能到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？
师生活动：学生在教师的指导下写出答案．
教师讲解：我们已经知道,平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每部分都称为一个抑制的生活半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为11ccmm二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面．
如图所示,在二面角的棱上任取一点,以为垂足,分别在半平面和内作垂直于棱的射线和,则射线和所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角.
比如，我们在地地理学科上学过的黄赤交角，指的就是黄道平面与赤道平面之间的夹角，大小为，如图所示．
设计意图：在学生学习了二面角及其平面角的概念之后,教师可以设计变式题引导学生通过动手练习角,更好地感悟获得知识的体验,拓宽学生的思维,建立良好的思维习惯．黄赤交角是地理学中的名词,在此处主要是举例说明二面角知识在现实中的广泛应用,不必在课上进行过多的探究．
问题3：“门开大点”“门开小点”说明了什么问题?平面角可以用量角器进行度量,二面角的大小可以用量角器来度量吗?如何确定二面角唯一的测量结果?哪个角能够表示二面角呢白棉花 电影?
师生活动：学生在教师的指导下写出答案．
预设的答案：“门开大点”“门开小点”说明了门和墙体所形成的二面角的平面角的大小的变化情况，平面角可以用量角器进行度量,二面角的大小无法用量角器来度量．二面角及其平面角的大小不小于0°,不大于180°，现代家用纺织品设计而且,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的四个二面角中,不小于0且不大于90°的角的大小.这样约定后,一个二面角的大小及两个相交平面所成的角的大小都是唯一确定的．
设计意图：在学生学习了二面角及其平面角的概念之后,教师可以设计变式题引导学生通过动手练习角,更好地感悟获得知识的体验,拓宽学生的思维,建立良好的思维习惯．
追问：根据二面角的平面角的定义，你是否能总结出二面角的平面角的定义的三个主要特征？
师生活动：学生在教师的指导下写出答案．
预设的答案：二面角的平面角的定义有三个主要特征:①过棱上任意一点;②分别在两个半平面内作射线;③射线垂直于棱.二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关.
设计意图：定义过程是求二面角大小的基本思维过程,也充分体现着将空间问题转化为平面问题的转化思想方法．
问题4：根据二面角的平面角的定义，你能否总结出如何利用定义法求二面角的平面角的大小？
师生活动：学生在教师的指导下写出答案．
教师讲解:步骤如下
(1)到或作出所求的二面角的平面角.
(2)证明或说明所作图形为所求的二面角的平面角.
(3)计算求解.此时一般为解斜三角形,需要用余弦定理及其变式,教师可以引导学生回顾.
(4)明确答案.写出所求问题的结论.
设计意图：通过师生共同探究,引导学生总结基本的思维过程与步骤．并为后面例题的求解给出思路．
三、初步应用
例1:如图所示,已知二面角的棱上有A,B两点，若求二面角的大小．
师生活动：学生根据所学给出解答，由老师指定学生给出答案．
预设的答案：如上图所示,在平面内过A作BD的平行线AE,且使得AE=BD,连接CE,ED．因为四边形AEDB是一个矩形,∠CAE是二面角的一个平面角,且AB⊥面AEC,所以ED⊥面AEC,从而
在△AEC中,由余弦定理可知,因此，即所求的二面角的大小为.
设计意图：通过梳理求解二面角的基本方法和步骤，提升运算速度和准确度，让学生感受，用代数方法解问题决立体几何问题．发展学生逻辑推理，数学抽象和数学运算的核心素养．
问题5：如图所示，设为二面角的半平面上一点，过点作半平面的垂线,设O为棱上一点.
（1）判断是的什么条件；
（2）由二面角的作法，你能得到什么启发？
师生活动：学生自行解答，由老师指定学生给出答案．
预设的答案：因为是在平面内的射影,所以是在平面内的射影,从而根据三垂线定理及其逆定理可知,是的充要条件;当二面角是一个锐角时,由此我们能得到作出它的平面角的另种方法:过其中一个半平面内一点,作另一个半平面的垂线段,过旋转机械故障诊断(或)作棱的垂线(或),连接(或)即可.
在图中,如果二面角的大小为,则可以看出△与△在边上的高之比为,因此这两个三角形的面积之比也为．
教师讲解:要注意以下几个方面
(1)该作法只适用二面角为锐角的情形.当二面角为钝角时,要将其中一个半平面延伸,即作出辅助半平面,先求出二面角的补角,再确定二面角的值.当二面角为直二面角时不作探讨．
(2)这种作二面角的平面角的依据是三垂线定理及其逆定理.在学生尝试前或探究过程中,适当为学生提示必备知识,如充要条件、三垂线定理及其逆定理.
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