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复习引入 | 上一节课,我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念,而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度,并推导出了斜率的坐标计算公式.现在,我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直. | 由学生回忆上节课内容,再由老师引入新课. | 设置情境引入新课 |
概念形成 | 1.特殊情况下,两条直线平行与垂直. 巴黎气候协定两条直线中有一条直线没有斜率,(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0° ,两直线互相垂直. | 由学生讨论得出答案 | |
概念深化 | 2.两条直线的斜率都存在时,两直线的平行与垂直. 设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2.我们知道,两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的,而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的,所以我们下面要研究的问题是:两条互相平行或垂直的直线,它们的斜率有什么关系? 首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果l1∥l2(图),那么它们的倾斜角相等;a1 = a2.(借助计算机,让学生通过度量,感知a1,a2的关系) ∴tga1 = tga2. 即k1 = k2. 反过来,如果两条直线的斜率相等:即k1 = k2,那么tga1 = tga2. 由于0°≤a1<180°,0°≤a<180°, ∴a1 = a2 又∵两条直线不重合, ∴l1∥l2. 结论:两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即l1∥l2k1 = k2. 注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1 = k2那么一定有l1∥l2;反之则不一定. | 借助计算机,让学生通过度量,感知的关系. | 通过斜率相等判定两直线平行,是通过代数方法得到几何结论,体现了用代数方法研究几何问题的思想. |
下面我们研究两条直线垂直的情形. 如果l1⊥l2,这时,否则两直线平行. 设(图)甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方;乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方;丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上,无论哪种情况下都有 . 因为l1、l2的斜率分别是k1、k2,即,所以. ∴. 即或k1k2 = –1, 反过来,如果即k1·k2 = –1不失一般性,设k1<0. k2>0, 那么. 可以推出a1 = 90°+. l1⊥l2. 结论:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即 注意:结论成立的条件,即如果k1·k2 = –1,那么一定有l1⊥l2;反之则不一定. | 借助计算机,让学生通过度量,感知k1,k2的关系,并使l1(或l2)转动起来,但仍保持l1⊥l2,观察k1,k2的关系,得到猜想,再加以验证,可使为锐角,钝角等. | 通过计算机的演示,培养学生的观察、猜想,归纳的数学思想方法. | |
应用举例 | 例1 已知A (2,3),B (–4,0),P(– 3,1),Q(–1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系,并证明你的结论. | 借助计算机作图,使学生通过观察猜想:BA∥PQ,再通过计算机加以验证.(图略) 例1 解:直线BA的斜率k1 = (3 – 0)/(2 – (–4)) = 0.5, 直线PQ的斜率k2 = (2 – 1)/( –1 – (–3)) = 0.5, 因为k1 = k2 = 0.5,所以直线BA∥PQ. | 通过例题的讲解,使学生进一步理解掌握直线平行与垂直的条件. |
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B (2, –1),C (4,2),D (2,3),试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. 例3 已知A(–6,0),B (3,6),P (0,3),Q (–2,6),试判断直线AB与PQ的位置关系. 例4 已知A(5, –1),B (1,1),C (2,3),试判断三角形ABC的形状. 分析:借助计算机作图,通过观察猜想:三角形ABC是直角三角形,其中AB⊥BC,再通过计算加以验证.(图略) 课堂练习 P94 练习1、2. | 借助计算机作图,使学生通过观察猜想:四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证. 例2 解:直线BA的斜率k1 = (3 – 0)/(2 – (–4)) = 0.5, 直线PQ的斜率k2 = (2 – 1)/( –1 – (–3)) = 0.5, 因为k1 = k2 = 0.5,所以直线BA∥PQ. 例3 解:直线AB的斜率k1 = (6 – 0)/ (3 – (–6)) = 2/3, 直线PQ的斜率k2 = (6 – 3) (–2 – 0) = 3/2, 因为k1·k2 = –1,所以AB⊥PQ. | ||
归纳总结 | (1)两条直线平行或垂直的真实等价条件; (2)应用条件,判定两条直线平行或垂直. (3)应用直线平行的条件,判定三点共线. | 由学生归纳,教师再补充完善. | 培养学生的概括能力 |
课后作业 | 见习案3.1的第二课时 | 由学生独立完成 | 巩固深化新学知识 |
本文发布于:2024-09-21 03:30:46,感谢您对本站的认可!
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