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直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

高压电源设计

【教学目标】

知识目标：

理解线线、线面、面面垂直的概念、判定与性质

能力目标：

（1）画出线线、线面、面面垂直的直观图；

（2）利用线线、线面、面面垂直的判定与性质，解释生活空间的一些实例；

（3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力．

情感目标：

（1）经历对线线、线面、面面、几何体的垂直及对应直观图形的认知，发展空间想象思维．

（2）参与数学实验，感受各种位置关系的特征，培养数学直觉，感受科学思维．

（3）关注生活中的数学模型，体会数学知识的应用．

（4）经历合作学习的过程，尝试探究与讨论，树立团队合作意识．

【教学重点】

直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质．

【教学难点】

判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直．

【教学设计】

在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条.

例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为即可.

在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．

两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．

例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面内到一条直线AC与平面B1BDD1垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目.

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟)

【教学过程】

教学过程	教师行为	学生行为	教学意图	时间
揭示课题 9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质创设情境兴趣导入【知识回顾】如果空间两条直线所成的角是90º，那么称这两条直线互相垂直，直线a和b互相垂直，记作a⊥b．【想一想】演示并画出两条相交直线垂直与两条异面直线垂直的位置关系，并回答问题：经过空间任意一点作与已知直线垂直的直线，能作几条？	介绍网络规划与设计质疑引导分析	了解思考	启发学生思考	0 5
*巩固知识典型例题【知识巩固】例1 如图9-43，长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断直线AB和DD1是否垂直．解 AB和DD1是异面直线，而BB1∥DD1，AB⊥BB1，根据异面直线所成的角的定义，可知AB与DD1成直角．因此. 图9-43	说明强调引领讲解说明	观察思考主动求解	通过例题进一步领会	10
*运用知识强化练习 1．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 2．在图9−43所示的正方体中，出与直线垂直的棱，并指出它们与直线的位置关系．	提问指导	思考解答	了解知识掌握情况	14
*创设情境兴趣导入【问题】前面我们学过直线与平面垂直的概念.根据定义判断直线与平面垂直，需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直，这是比较困难的．那么，如何判定直线和平面垂直呢？【观察】我们来看看实践中工人师傅是如何做的．如图9−44所示，检验一根圆木柱和板面是否垂直．工人师傅的做法是，把直角尺的一条直角边放在板面上，看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一条直线）．如果两次检查，圆木柱都能和直角尺的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直．	质疑引导分析	思考	带领学生分析	17
*动脑思考探索新知【新知识】从大量的实践与观察中，归纳出直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．	讲解说明	理解	带领学生分析	20
*巩固知识典型例题【知识巩固】例2 长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图9−45），直线AA1与平面ABCD垂直吗？为什么？图9−45 解　因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面ABB1A1、AA1D1D都是长方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD内的两条相交直线．由直线与平面垂直的判定定理知，直线AA1⊥平面ABCD．图9−46 [小提示] 在实际生活中，我们采用如图9−46所示的“合页型折纸”检验直线与平面垂直，就是直线与平面垂直方法的应用．【做一做】如果只给一个卷尺，你能否判断操场中立的旗杆与底面垂直吗？	说明强调引领讲解说明	观察思考主动求解	通过例题进一步领会	25
*创设情境兴趣导入【观察】观察道路边的电线杆可以发现它们都垂直于地面，并且这些电线杆是平行的．这一事实启发我们得出直线与平面垂直的性质．	质疑引导分析	思考	启发学生思考	28
*动脑思考探索新知【新知识】由大量的实验与观察，归纳出直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行．如图9−47所示，设，，则 m∥n． [想一想] 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？为什么？	讲解说明引领分析	思考理解	带领学生分析	32
*巩固知识典型例题【知识巩固】例3　如图9−48，AB和CD都是平面的垂线，垂足分别为B、D，A、C分别在平面的两侧，AB＝4 cm，CD＝8 cm，BD＝5 cm，求AC的长．图9−48 解　因为AB⊥，CD⊥，所以　AB∥CD．因为BD在平面内，AB⊥BD，CD⊥BD．设AB与CD确定平面，在平面内，过点A作AE∥BD，直线AE与CD交于点E．在直角三角形ACE中，因为AE＝BD＝5 cm， CE＝CD＋DE＝CD＋AB＝8 + 4 =12（cm），所以 AC＝＝＝13（cm）．	说明强调引领讲解说明	观察思考主动求解	通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点	37
*运用知识强化练习 1．一根旗杆AB高8 m，它的顶端A挂两条10 m的绳子，拉紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的C、D两点，并使点C、D与旗杆脚B不共线，如果C、D与B的距离都是6 m，那么是否可以判定旗杆AB与地面垂直，为什么？ 2．如图所示，在平面内，，且于A，那么AC与PB是否垂直？为什么？	提问巡视指导	思考解答	及时了解学生高温密封材料知识掌握企业物流管理论文情况	42
*创设情境兴趣导入【知识回顾】两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么称这两个平面互相垂直．平面与平面垂直，记作．画表示两个互相垂直平面的图形时，一般将两个平行四边形的一组对边画成垂直的位置，可以把直立的平面画成矩形（图9−49（1）），也可以把直立的平面画成平行四边形（图9−49（2））．【做一做】请动手画出图9−50中的两个图形． [实例] 建筑工人在砌墙时，把线的一端系一个铅锤，另一端用砖压在墙壁面上（图9−50），观察系有铅锤的线与墙面是否紧贴（在铅锤处应有一空隙），即判断所砌墙面是否经过地面的垂线，以此保证所砌的墙面与地面垂直．图 9−50	质疑引导分析	观察思考	带领学生分析	48
*动脑思考探索新知【新知识】这种做法的依据是平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．如图9−51所示，如果，在内，那么．	讲解说明引领分析	理解	带领学生分析	52
汽车防盗器原理 *巩固知识典型例题【知识巩固】例4 在正方体ABCD-A1B1C1D1（如图9−52）中，判断平面B1AC与平面B1青岛BDD1是否垂直．图9−52 解在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以BB1⊥AC，在底面正方形ABCD中，BD⊥AC，因此AC⊥平面BB1D1D，因为AC在平面B1AC内，所以平面B1AC与平面B1BDD1垂直．	说明强调引领讲解说明	观察思考主动求解	通过例题进一步领会	57
*创设情境兴趣导入【实验】如图9−53所示，在正方体的侧面中，作，观察与底面ABCD的关系．	质疑引导分析	思考	带领学生分析	60
*动脑思考探索新知【新知识】可以看到，由于，故，又，因此．这样，就与底面ABCD中的两条相交直线都垂直，所以与底面ABCD垂直．由大量的观察与实践，归纳出平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．	讲解说明引领分析	理解记忆	带领学生分析	64
*巩固知识典型例题【知识巩固】例5　如图9−54所示，平面α⊥平面β， AC在平面α内，且AC⊥AB，BD在平面β内，且BD⊥AB，AC＝12 cm，AB＝3 cm，BD＝4 cm．求CD的长．图9−54 解　在平面内，连结AD．又由于BD⊥AB，所以在直角三角形ABD中，，故 AD＝5（cm）．因为，AC在平面内，且AC⊥AB，AB为平面与的交线，所以AC⊥．因此CA⊥AD．在直角三角形ACD中，，故 CD＝13（cm）．	说明强调引领讲解说明	观察思考主动求解	通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点	69
*运用知识强化练习 1．如图所示，在长方体中，与平面垂直的平面有个，与平面垂直的棱有条．第1题图第2题图 2．如图所示，检查工件相邻的两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边卡在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了，为什么？	提问巡视指导	思考求解	及时了解学生知识掌握得情况	78
*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：直线与平面垂直的判定与性质？平面与平面垂直的判断与性质？结论：直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行．平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．	质疑归纳强调	回答	及时了解学生知识掌握情况	82
*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？	引导	回忆

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教学过程	教师行为	学生行为	教学意图	时间
揭示课题 9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质创设情境兴趣导入【知识回顾】如果空间两条直线所成的角是90º，那么称这两条直线互相垂直，直线a和b互相垂直，记作a⊥b．【想一想】演示并画出两条相交直线垂直与两条异面直线垂直的位置关系，并回答问题：经过空间任意一点作与已知直线垂直的直线，能作几条？	介绍网络规划与设计质疑引导分析	了解思考	启发学生思考	0 5
*巩固知识典型例题【知识巩固】例1 如图9-43，长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断直线AB和DD1是否垂直．解 AB和DD1是异面直线，而BB1∥DD1，AB⊥BB1，根据异面直线所成的角的定义，可知AB与DD1成直角．因此. 图9-43	说明强调引领讲解说明	观察思考主动求解	通过例题进一步领会	10
*运用知识强化练习 1．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 2．在图9−43所示的正方体中，出与直线垂直的棱，并指出它们与直线的位置关系．	提问指导	思考解答	了解知识掌握情况	14
*创设情境兴趣导入【问题】前面我们学过直线与平面垂直的概念.根据定义判断直线与平面垂直，需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直，这是比较困难的．那么，如何判定直线和平面垂直呢？【观察】我们来看看实践中工人师傅是如何做的．如图9−44所示，检验一根圆木柱和板面是否垂直．工人师傅的做法是，把直角尺的一条直角边放在板面上，看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一条直线）．如果两次检查，圆木柱都能和直角尺的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直．	质疑引导分析	思考	带领学生分析	17
*动脑思考探索新知【新知识】从大量的实践与观察中，归纳出直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．	讲解说明	理解	带领学生分析	20
*巩固知识典型例题【知识巩固】例2 长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图9−45），直线AA1与平面ABCD垂直吗？为什么？图9−45 解　因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面ABB1A1、AA1D1D都是长方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD内的两条相交直线．由直线与平面垂直的判定定理知，直线AA1⊥平面ABCD．图9−46 [小提示] 在实际生活中，我们采用如图9−46所示的“合页型折纸”检验直线与平面垂直，就是直线与平面垂直方法的应用．【做一做】如果只给一个卷尺，你能否判断操场中立的旗杆与底面垂直吗？	说明强调引领讲解说明	观察思考主动求解	通过例题进一步领会	25
*创设情境兴趣导入【观察】观察道路边的电线杆可以发现它们都垂直于地面，并且这些电线杆是平行的．这一事实启发我们得出直线与平面垂直的性质．	质疑引导分析	思考	启发学生思考	28
*动脑思考探索新知【新知识】由大量的实验与观察，归纳出直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行．如图9−47所示，设，，则 m∥n． [想一想] 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？为什么？	讲解说明引领分析	思考理解	带领学生分析	32
*巩固知识典型例题【知识巩固】例3　如图9−48，AB和CD都是平面的垂线，垂足分别为B、D，A、C分别在平面的两侧，AB＝4 cm，CD＝8 cm，BD＝5 cm，求AC的长．图9−48 解　因为AB⊥，CD⊥，所以　AB∥CD．因为BD在平面内，AB⊥BD，CD⊥BD．设AB与CD确定平面，在平面内，过点A作AE∥BD，直线AE与CD交于点E．在直角三角形ACE中，因为AE＝BD＝5 cm， CE＝CD＋DE＝CD＋AB＝8 + 4 =12（cm），所以 AC＝＝＝13（cm）．	说明强调引领讲解说明	观察思考主动求解	通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点	37
*运用知识强化练习 1．一根旗杆AB高8 m，它的顶端A挂两条10 m的绳子，拉紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的C、D两点，并使点C、D与旗杆脚B不共线，如果C、D与B的距离都是6 m，那么是否可以判定旗杆AB与地面垂直，为什么？ 2．如图所示，在平面内，，且于A，那么AC与PB是否垂直？为什么？	提问巡视指导	思考解答	及时了解学生高温密封材料知识掌握企业物流管理论文情况	42
*创设情境兴趣导入【知识回顾】两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么称这两个平面互相垂直．平面与平面垂直，记作．画表示两个互相垂直平面的图形时，一般将两个平行四边形的一组对边画成垂直的位置，可以把直立的平面画成矩形（图9−49（1）），也可以把直立的平面画成平行四边形（图9−49（2））．【做一做】请动手画出图9−50中的两个图形． [实例] 建筑工人在砌墙时，把线的一端系一个铅锤，另一端用砖压在墙壁面上（图9−50），观察系有铅锤的线与墙面是否紧贴（在铅锤处应有一空隙），即判断所砌墙面是否经过地面的垂线，以此保证所砌的墙面与地面垂直．图 9−50	质疑引导分析	观察思考	带领学生分析	48
*动脑思考探索新知【新知识】这种做法的依据是平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．如图9−51所示，如果，在内，那么．	讲解说明引领分析	理解	带领学生分析	52
汽车防盗器原理 *巩固知识典型例题【知识巩固】例4 在正方体ABCD-A1B1C1D1（如图9−52）中，判断平面B1AC与平面B1青岛BDD1是否垂直．图9−52 解在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以BB1⊥AC，在底面正方形ABCD中，BD⊥AC，因此AC⊥平面BB1D1D，因为AC在平面B1AC内，所以平面B1AC与平面B1BDD1垂直．	说明强调引领讲解说明	观察思考主动求解	通过例题进一步领会	57
*创设情境兴趣导入【实验】如图9−53所示，在正方体的侧面中，作，观察与底面ABCD的关系．	质疑引导分析	思考	带领学生分析	60
*动脑思考探索新知【新知识】可以看到，由于，故，又，因此．这样，就与底面ABCD中的两条相交直线都垂直，所以与底面ABCD垂直．由大量的观察与实践，归纳出平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．	讲解说明引领分析	理解记忆	带领学生分析	64
*巩固知识典型例题【知识巩固】例5　如图9−54所示，平面α⊥平面β， AC在平面α内，且AC⊥AB，BD在平面β内，且BD⊥AB，AC＝12 cm，AB＝3 cm，BD＝4 cm．求CD的长．图9−54 解　在平面内，连结AD．又由于BD⊥AB，所以在直角三角形ABD中，，故 AD＝5（cm）．因为，AC在平面内，且AC⊥AB，AB为平面与的交线，所以AC⊥．因此CA⊥AD．在直角三角形ACD中，，故 CD＝13（cm）．	说明强调引领讲解说明	观察思考主动求解	通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点	69
*运用知识强化练习 1．如图所示，在长方体中，与平面垂直的平面有个，与平面垂直的棱有条．第1题图第2题图 2．如图所示，检查工件相邻的两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边卡在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了，为什么？	提问巡视指导	思考求解	及时了解学生知识掌握得情况	78
*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：直线与平面垂直的判定与性质？平面与平面垂直的判断与性质？结论：直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行．平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．	质疑归纳强调	回答	及时了解学生知识掌握情况	82
*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？	引导	回忆