为了了解博弈论中引⼊“混合策略”概念的动机，我们来看⽤“划线法”对相当简单的“猜谜博弈”求解的结果，其结果如图8.3.1所⽰。 求解的答案是，在纯策略意义下“猜谜博弈”⽆解，即不存在在纯策略意义下的纳什均衡，也就是说，这个博弈得不到⼀个平衡稳定的结局。但经验告诉我们，两个⼉童玩这样的猜谜游戏，⼀局难定胜负，⼀次⼜⼀次地玩下去，随机地出⼀个⼿指，或者两个⼿指，多次以后，基本胜负各半，也就是有了⼀个平衡的结果。这个启⽰是，若⼀个博弈在纯策略意义下没有平衡的结局，但两个局中⼈各⾃将⾃⼰的全部策略随机地组织起来，且可能得到平衡的结局，换⾔之，在概率策略的意义下可能存在纳什均衡。正是这样的思考，引发了“混合策略”的概念。东京国际动漫节
⼀、混合策略
1．混合策略的定义
设Ⅰ与Ⅱ是⼀个博弈的两个局中⼈。他们的纯策略集(c8.2)分别记为：
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S={s1,s2,…s n}和T={t1,t2, …t m} （8.3.1）
x与y是两个概率向量，即：
x=(x1,x2, …x n)T；xi≥0（i=1,2, …n）;∑x i = 1
y=(y1,y2, …y m)T；yj≥0（j=1,2, …m）;∑y j = 1
若 x表⽰对局中⼈Ⅰ的纯策略集S的全体策略的⼀种概率选择；y表⽰对局中⼈Ⅱ的纯策略集T的全体策略的⼀种概率配置，即：
Ⅰ以概率x1选择策略s1，以概率x2选择策略s2，……以概率x n选择策略s n。
Ⅱ以概率y1选择策略t1，以概率y2选择策略t2，……以概率y m选择策略t m。
则称x为局中⼈Ⅰ的混合策略；称y为局中⼈Ⅱ的混合策略。
混合策略的实践意义是表⽰局中⼈对各个纯策略的偏好程度，或是对多次博弈达到均衡结局的各个纯策略选择的概率估计，因此体现了主观概率的意义。
2．混合策略集
根据混合策略的定义，易见，纯策略可视为特殊的混合策略。例如局中⼈Ⅰ的⼀个纯策略策略s i∈S 就是特殊的混合策略x' ：此概率向量的分量取值为：
x'i=1 ，x'j=0 （j≠i）
也就是Ⅰ选择策略s1的概率为0（不妨设i≠1），……选择策略s i的概率为1，……选择策略s n的概率为0（不妨设i≠n）。有了这个见解，后⽂中，我们将记：
X={x∈R n| x=(x1,x2, …x n)T；x i≥0（i=1,2, …n）; ∑x i = 1}； (8.3.2)
Y={y∈R m| y=(y1,y2, …y m)T；y j≥0（j=1,2, …m）;∑y j = 1}。 (8.3.3)
并称：X为局中⼈Ⅰ的策略集或混合策略集。Y为局中⼈Ⅱ的策略集或混合策略集。以及(x, y) ∈X×Y为博弈的混合策略结局。
注意到纯策略集S是⼀个有限集，由它⽣成的凸集，也就是单纯形（参阅第⼆章有关内容）可表⽰为：
可见，混合策略集X与纯策略集S⽣成的凸集（单纯形）1－1对应（在数学上称为同构），因此可以把混合策略集X“看成”由纯策略集S拓展的凸集（单纯形），⽽且集S是集X的极点⼦集。同理可以把混合策略集Y“看成”由纯策略集T拓展的凸集（单纯形），⽽且集T是集Y的极点⼦集。按照这样的理解，就不难把握混合策略的概念，即每⼀个混合策略x表⽰了由全部纯策略s i∈S以凸组合⽅式产⽣的⼀个策略。
3．混合策略结局的盈利函数
设博弈的局中⼈Ⅰ与Ⅱ各⾃的纯策略集S和T，以及各⾃的混合策略集X、Y分别由式（8.3.1）、式（8.3.2）和式（8.3.3）定义。博弈的盈利矩阵模型为：
我们定义局中⼈Ⅰ的盈利矩阵为：
定义局中⼈Ⅱ的盈利矩阵为：
则定义混合策略结局的盈利函数如下：
(1) 任取s i∈S，任取y∈Y，定义结局（s i, y）的盈利函数为：
（8.3.4）
(2) 任取t j∈T，任取x∈X，定义结局（x, t j）的盈利函数为：
(8.3.5)
(3) 任取x∈X，任取y∈y，定义结局（x, y）的盈利函数为：
(8.3.6)
(8.3.7)
将式(8.3.6)给出的u1(x,y)的定义与(8.3.4)给出的u1(s i,y)的定义作联系分析，以及将式(8.3.7)给出的u2(x,y)的定义与(8.3.5)给出的u2(x,t j)的定义作联系分析，容易得出u1(x,y)以及u2(x,y)有下列等价的表达式：
(8.3.9)
(8.3.10)
⼆、混合策略的纳什均衡
（⼀）混合策略纳什均衡的概念
1、混合策略纳什均衡的定义
设博弈的局中⼈Ⅰ与Ⅱ各⾃的纯策略集S和T，以及各⾃的混合策略集X、Y分别由式（8.3.1）、式（8.3.2）和式（8.3.3）定义。
若⼀个混合策略的结局(x, y)∈X×Y满⾜下列条件：欧尚宜家
（1） (8.3.11)
（2） (8.3.12)
则称混合策略的结局(x, y)是纳什均衡。
2、混合策略纳什均衡的含义
因为可以把混合策略集X“看成”以纯策略集S为极点⼦集⽽拓展的凸集（单纯形）。因此根据定义在凸集上的函数（称为凸函数）的性质，可以证明，若式（8.3.11）成⽴，则下式也必然成⽴：
(8.3.13)
类似地，若式（8.3.12）成⽴，则下式也必然成⽴：
(8.3.14)
式（8.3.13）及式（8.3.14）表⽰。x是局中⼈Ⅰ对局中⼈Ⅱ选择了策略y后的最优策略（条件盈利最⼤），以及y是局中⼈Ⅱ对局中⼈Ⅰ的选择了策略x后的最优策略（条件盈利最⼤）。
由于在博弈中局中⼈Ⅰ和局中⼈Ⅱ都选择“理性”⾏动，这样双⽅的博弈将在结局（x, y）下达到均衡状态。
[例8.3.1] 验证x=(1/2, 1/2)T , y=(1/2, 1/2)T构成的混合策略结局（x, y）是“猜谜博弈”的纳什均衡。
解 “猜谜博弈”的模型是：
纯策略集S={1，2}（即{出⼀指，出两指}），纯策略集T={1，2}。由式（8.3.4）、式（8.3.5）、式（8.3.6）和式（8.3.7）。
因此下列不等式成⽴
由式（8.3.8）和式（8.3.8）知，混合结局（x, y）是“猜谜博弈”的纳什均衡。n 二甲基亚硝胺
（⼆）”2策略博弈“的求纳什均衡的⽅法
[定理8.3.1]
若博弈的局中⼈Ⅰ与Ⅱ各⾃的纯策略集S和T都是2策略集：
S={s1,s2 }和T={t1,t2 }
则混合策略结局（x, y）是纳什均衡的充要条件是：
(8.1.15)
(8.1.16)
证明可设：
先证必要性，设（x, y）是纳什均衡。由式 (8.3.9)
由纳什均衡的含义，混合策略x是局中⼈Ⅰ在预测对局中⼈Ⅱ选择y 下的最优策略，因此由：
燃烧海洋上的海盗
商人论坛即
再正充分性，设u1(s1,y)=u1(s2,y)，则
同理可得：
从⽽由纳什均衡的定义式（8.3.11）和式（8.3.12）可知（x, y）是纳什均衡。 [例8.3.2] 求图8.3.2给出的博弈的纳什均衡。
解由式（8.3.4）
由式（8.3.15 ）的要求解
2q-1=0
∴ q=1/2
由式（8.3.5）
由式（8.3.16 ）的要求解
故求得纳什均衡
三、混合策略纳什均衡的两则应⽤
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