第24卷 第22期
岩石力学与工程学报 V ol.24 No.22
2005年11月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Nov .，2005
收稿日期：2004–05–19；修回日期：2004–11–08
作者简介：刘传孝(1970–)，男，博士，1992年毕业于山东科技大学采矿工程系，现为副教授，主要从事非线性动力学、计算力学、岩土力学与工程
饱和嵌入维数确定最大Lyapunov 指数的准则探讨 刘传孝
(山东农业大学 水利土木工程学院，山东 泰安 271018)
摘要：基于对大量砂岩试样裂隙系统的MTS 全应力–应变时间序列的非线性动力学分析，构造单位阶跃函数并引入到最大Lyapunov 指数LE 1的判别模型中，建立了确定LE 1的新准则。新准则充分考虑LE 1-m 关系中普遍存在的阶跃现象，更符合确定LE 1的理论条件。新准则确定的LE 1与传统准则的 解释结果比较，偏离幅度巨大，使得对系统稳定性程度的混沌判别结果迥异，并且LE 1的正负号会因此改变，导致对系统所处状态的定性评价不同。研究成果在一定程度上克服了传统准则确定LE 1鲁棒性较差的缺陷，对混沌动力学基础研究具有一定的理论意义。 关键词：岩石力学；混沌；裂隙系统；相空间；嵌入维数；Lyapunov 指数；准则；鲁棒性 中图分类号：TU 452 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2005)22–4088–06
DISCUSSION ON A NEW RULE TO FIND LARGEST LYAPUNOV
EXPONENT BY SATURATED EMBEDDED DIMENSION
LIU Chuan-xiao
(College of Water Conservancy and Civil Engineering ，Shandong Agricultural University ，Tai ′an 271018，China )
Abstract ：Based on the analysis of nonlinear dynamics to time series of strain and stress which are tested by MTS to lots of joint systems of sandstone specimens ，a new rule to find the largest Lyapunov exponent is established by introducing LE 1-m mathematical model and unit-step function. The new rule involves step feature that confirms theoretic condition of finding the largest Ly
apunov exponent even more. Value of the largest Lyapunov exponent erected by the new rule is very different to that of the old rule ，which will lead to a very different valuing conclusion of chaos to stability of a system. Meanwhile ，different sign of the largest Lyapunov exponent will produce different conclusions of system state of which the characteristic has been changed completely. Conclusions of the paper improve robustness to erect LE 1 by old rule and are useful to basic theoretic research of chaotic dynamics.
Key words ：rock mechanics ；chaos ；joint system ；phase space ；embedded dimension ；Lyapunov exponent ；rule ；robustness
1 引 言
Lyapunov 指数LE 1是系统宏观、整体特性的表示，可以反映出系统所处的状态是混沌的、随机的、有序的还是临界的，对评价一个系统的稳定性具有
实用价值。精度足够小时信息在足够长时间内的平均变化率为信息流率，亦称之为熵，Kolmogorov 熵为所有正的Lyapunov 指数之和，是一个系统被确定处于混沌状态后混沌程度的量度，该指标与系统稳定性程度的定量评价关系密切。Renyi 二阶熵的倒数为一个系统的平均可预报时间尺度，是系统稳定
第24卷 第22期 刘传孝. 饱和嵌入维数确定最大Lyapunov 指数的准则探讨 • 4089 •
性状态混沌预测的指标[1
～4]
。因此，科学地确定LE 1
具有重要的理论价值和实际意义。
传统的确定LE 1的准则，
是确定饱和嵌入维数，其对应的趋于稳定时LE 1值即为最大Lyapunov 指数[5]。本文研究多种条件下的时间序列，以判断对应系统的混沌特征或评价其稳定性程度，发现了与传统的确定LE 1准则的不同之处，且差异颇大。基于对砂岩试样裂隙系统的MTS 全应力–应变时间序列的分析，本文提出了确定LE 1的新准则或新方法，并进行了理论分析。研究成果从岩石力学试验角度，提出了克服Wolf 方法确定LE 1鲁棒性较差问题的新思路，在一定程度上解决了长期困扰国内外科研工作者的难题，具有新颖性。
2 传统准则确定最大Lyapunov 指数
采用Wolf 方法从单变量时间序列中提取LE 1。如图1所示，对单变量时间序列进行m 维相空间重构，选择令相空间坐标相关性最小的时滞τ，则在延拓的m 维相空间内，初始参考相点为A (t 1)：x (t 1)，x (t 1+τ)，，
L x (t 1 + (m －1)
τ )。
图1 相轨线辐散图 Fig.1 Evolution of phase trajectory
依据欧几里德空间意义上的两点间的距离公式，可求得初始相点A (t 1)的最近郊点B (t 1)，其间距为L (t 1) = )()(11t B t A 。到时刻t 2 = t 1 + k Δt 时，A (t 1)和B (t 1)分别演化到A (t 2)和B (t 2)，A (t 2)和B (t 2)的间距为l (t 2)=)()(22t B t A 。用λ1表示k Δt 时间段内线段的指数增长率，则有
)
()
(ln 1121t L t l t k Δ=λ (1)
同样依据欧几里德空间意义上的两点间的距离公式，在相点A (t 2)附近到满足θ1很小的近郊点C (t 2)，其间距为L (t 2) = )()(22t A t C 。到时刻t 3 = t 2 +
和C (t 3)的间距为l (t 3) = )()(33t A t C 。用λ2表示(t 3－t 2)时间段内线段的指数增长率，则有
)
()
(ln 1232t L t l t
k Δ=λ (2)
依次类推，一直进行到点集(x i )结束，这里，i = 1，2，，L n ′，且有
n ′ = NN －m τ－k Δt (3)
式中：NN 为时序样本空间，m 为嵌入维数，τ
为时
滞，k Δt 为步长。
取一系列n ′个指数增长率的平均值，作为该嵌入维数下LE 1的估计值，即
∑−Δ=N i
i
i t
L t l t k N
m LE )1()
(11
)(1 (4) 式中：N 为演化总步数，且有t
k n N Δ′=。
依次增加嵌入维数，循环上述过程，直至LE 1(m )趋向平稳，此时的m 被称作饱和嵌入维数m c ，LE 1(m )即为最大Lyapunov 指数LE 1[5]。
3 确定LE 1的新准则研究
3.1 砂岩试样MTS 试验应力–应变时间序列
本次试验是在山东科技大学从美国MTS 公司引进的MTS815.03电液伺服岩石试验系统上进行的。加工的标准砂岩试样为圆柱形，直径和高度分别为50和100 mm ，其平整度、垂直度等均能达到岩石试验规范标准。采用轴向应变作为主控变量即可以得出完整的σ-ε
曲线，但由于岩石破坏前后
主教之友
应变速度差别较大，故峰前加载速率采用0.000 1 mm/s ，峰后加载速率采用0.000 2 mm/s [6
～8]
。
试验所得砂岩的全应力–应变曲线共23条，图2所示为部分砂岩试样MTS 全应力–应变曲线，进行非线性动力学分析的轴向应力时间序列均源于此。
3.2 砂岩裂隙系统LE 1-m 关系
对不同条件的时间序列进行非线性动力学分析，每一时间序列均选用固定的τ = 2，k Δt = 2×2，探测吸引子的长度标度为1、出现噪音的长度尺度为1，而唯一改变的是嵌入维数m ，进行相空间重构[9]。
适度扩大m 的取值范围，最大计算到m = 20，砂岩裂隙系统LE 1-m 关系如图3所示。从图3可以看出，有些试块产生了混沌现象，有些试块未产生混沌现
• 4090 • 岩石力学与工程学报2005年
图2 部分砂岩试样MTS全应力–应变曲线
Fig.2 Curves of strain-stress of some sandstone specimens
tested on MTS
3.3 传统准则确定最大Lyapunov指数的解释结论
由图3可以看出，LE
1
随m的增加，由剧烈波
动逐渐趋于稳定。按照传统准则的解释，往往容易
把第一次趋于稳定的LE
1
和对应的m确定为最大
Lyapunov指数和饱和嵌入维数[10～12]，这是前述
Wolf方法确定LE
1
具有鲁棒性差的特点的体现，本
文将其定义为亚LE
1和亚m
c
(
c
m′)，提取指标值列
于表1。
3.4 确定最大Lyapunov指数的新准则及其解释结论
图3所含各图中存在的普遍现象是，在m大于
亚m
c (
c
m′)之后，随m的继续增加，LE
1
由亚LE
1
的
稳定态产生了明显的阶跃，而且无论正阶跃还是负阶跃，阶跃幅度均较大，阶跃后的曲线又趋于新的稳定态。本文把阶跃位置的m值定义为真正的饱
和嵌入维数m
c ，对应的LE
1
确定为最大Lyapunov
指数，该方法为相对于传统准则的确定最大Lyapunov指数的新准则。探讨采用试验方法在一定程度上克服Wolf方法确定LE
1
鲁棒性差的缺陷。按照新准则提取砂岩裂隙系统演化的混沌特征参数见表1。
3.5 确定LE
1
的新准则分析与研究
对表1砂岩裂隙系统演化的混沌特征参数的分
析表明，传统准则确定的亚m
c (
c
m′)平均值为7，新
准则确定的m
c 的平均值为14，由
c
m′到m
c
致使LE
三溴化吡啶1
产生的平均阶跃高度为1.577 4。其中30%的试样1.525 9；70%的试样呈现LE
1
＜亚LE
1
，定义为负阶
跃高度，平均为1.599 9。可见正、负阶跃程度基本对称。
3.5.1 模型的建立
对所有砂岩试样裂隙系统的m
c
之前(不含m
c
)
的所有LE
1
值进行回归计算，得到LE
1
-m呈一元反
比关系(m＜m
c
)，这一点与传统结论相一致。考虑
m = m
c
处的正、负阶跃，构造单位阶跃函数)
(0m
h[13] 为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
)
(
)
(
1
)
(
c
c
m
m
m
m
m
h
＜
(5)
综上所述，所建立的LE
1
-m关系模型如图4所示。
LE
1
与m的关系可表示为
电子商务与电子政务
海外卖松花蛋被查)
(0
1
1
m
ch
m
a
a
LE±
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=(6)
式中：a
，a
1
均为待定系数，由试验数据回归统计所得，本文可分别取为－0.017 9和0.217 5；c为单
向阶跃或正负阶跃高度相同时的LE
1
阶跃高度，本
文可取1.577 4。LE
1
的正负阶跃高度差异较大时，正阶跃时式(6)取正号，本文砂岩裂隙系统正阶跃高
度c
01
可取1.525 9；负阶跃时式(6)取负号，本文砂
岩裂隙系统负阶跃高度c
0–1
可取1.599 9；m
c
对本文砂岩裂隙系统可取14。
因此，砂岩裂隙系统的LE
1
-m关系模型为
)
(
4
577
.1
5
217
.0
9
017
.00
1
m
h
m
LE±
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=(7)
3.5.2 新准则作用效果分析
对砂岩裂隙系统而言，新准则确定的LE
1
与传统准则的解释结果平均相差1.577 4倍，无论正向还是负向，其偏离幅度是巨大的，可能使得对系统稳定性程度的混沌判别产生大幅提高或降低。最为
严重的是，LE
1
的正负号可能因此而改变，从而导
致对系统所处状态的评价出现质的不同。从LE
1
-m
关系研究出发，与传统的确定LE
1
的准则相比较，充分考虑了阶跃的新准则更能准确体现确定该指标的理论条件，即“依次增加嵌入维数，循环上述过
程，直至LE
1
(m)趋向平稳，此时的m被称作饱和嵌
入维数m
c
，此时的LE
1
(m)即为最大Lyapunov指数”，
因为大的阶跃高度的普遍存在恰恰说明LE
1
(m)在′
≥
(a)7# (b)8# (c)9# (d)10#
第24卷 第22期 刘传孝. 饱和嵌入维数确定最大Lyapunov 指数的准则探讨 • 4091 •
图3 砂岩裂隙系统的混沌特征
Fig.3 Chaotic features of sandstone joint system
(e)
5#
(f)6# (g)7#(a)
1#
(b)2#(c)3#
(d)
4#
(h)
8#
(i)
9#
(j)10#(k)11#(l)
12#
(m)
13#
(n)14#
(o)15#
(p)
16#
(q)
17#
(r)18#(s)19#(t)
20#
(u)
21#
(v)22#(w)
23#
• 4092 • 岩石力学与工程学报 2005年线速度
表1 砂岩裂隙系统强度随应变演化的混沌特征参数
Table 1 Chaotic features of sandstone joint system in different evolutional stages of strength
砂岩试件编号
σc /MPa
亚m c )(c
m ′ 亚LE 1 m c LE 1 LE 1＞亚LE 1
LE 1＜亚LE 1m c －亚m c |(LE 1－亚LE 1)/亚LE 1|/%
1# 45.494 470 11 0.022 153 15 0.017 450 √ 4 21.23 2#
69.683 880
8
0.011 097
11 0.003 179 √ 3 71.35 3# 87.525 470 6 －0.016 455 17 －0.023 235
√ 11
41.20 4# 49.273 060 8 －0.006 400 12 0.006 543√ 4 202.23 5# 85.509 380 4 －0.005 421 10 0.006
162√ 6 213.67 6# 41.081 490 5 －0.008 564 14 －0.016 195 √ 9 89.11 7# 26.338 890 11 －0.002 150 14 －0.006 288 √ 3 192.47 8#
36.181 980
9
0.002 935
16 －0.008 266
√ 7
381.64 9# 26.324 570 10 －0.006 027 17 0.003 319√ 7 155.07 10# 19.797 880 7 －0.008 297 18 －0.015 373 √ 11 85.28 11# 167.290 400 8 0.008 959 16 －0.003 284 √ 8 136.66 12#
151.226 990
5
0.003 014
11 0.001 455 √ 6 51.73 13# 77.883 580 7 －0.006 863 14 －0.026 817
√ 7
290.75 14# 109.186 950 6 －0.005 074 13 0.007 564√ 7 249.07 15# 34.940 040 7 －0.037 196 10 －0.042 956
√ 3
15.49 16# 73.210 430 8 －0.037 075 15 －0.011 247√ 7 69.66 17#
82.403 690
6
0.003 475
15 －0.002 730
√ 9
178.56 18# 154.826 030 4 －0.005 933 11 0.004 290√ 7 172.31 19#
83.293 236
4
0.043 233
11 0.006 262 √ 7 85.52 20# 35.593 857 9 －0.045 875 13 －0.047 821 √ 4 4.24 21# 76.888 756 3 －0.007 753 13 －0.026 041
√ 10
235.88 22# 79.504 326 7 －0.053 952 13 －0.050 640√ 6 6.14 23# 105.359 030
3
0.002 220
16
－0.012 851
√ 13 678.87罗兰巴特
平均值7 平均值14
占30%
占70%
平均值7
均阶跃高度(c 0)1.577 4：
(－)1.599 9；(+)1.525 9
图4 LE 1-m 关系模型 Fig.4 Mathematical model of LE 1-m
4 结 论
(1) 构造单位阶跃函数及其定义域条件，并引入到最大Lyapunov 指数判别的数学模型中，具体给出了LE 1-m 关系式中各参数的实现渠道，建立了确定LE 1的新准则。
(2) 新准则充分考虑了LE 1-m 关系中阶跃的影响，更符合确定LE 1的理论条件。
(3) 新准则确定的LE 1与传统准则的解释结果
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