哦!冬夜的灯光测试与应用•36•
李辉
（天津职业技术师范大学机械工程学院，天津300222）
摘要：针对传统相关函数和谱相关密度难以有效处理强非高斯噪声干扰的问题，提出了一种基于循环平稳相关熵的故障诊断方法。以理论分析和几何图解等方式系统分析了相关熵的降噪机理，以余弦信号和仿真调幅信号为例解释了相关熵以及循环平稳相关熵的降噪机理并验证了其良好的噪声抑制能力；应用循环平稳相关熵方法对轴承内、外圈局部裂纹故障振动信号进行了分析和处理，试验结果表明，循环平稳相关熵谱密度具有解调功能，能准确刻画轴承局部裂纹故障的频谱特征，可有效提取淹没在强噪声环境中的微弱信号。 关键词：滚动轴承；故障诊断；相关熵；降噪；循环平稳信号
中图分类号:TH183.33；TN911.57文献标志码：B DOI：10.19533/j.issul000-3762.5001.23.208 Denoising Mecianism oO Correytropy and lie Application in
Bearing Fauii Diagnosis
LI Hui
(School of Mechanical Engineering,Tianjin University of Technolopp and Education,Tianjin370222,China) Abstroci:The WadiPonai corremtion function and spec W ai corremtion devsity are diUicoU to deal with sWonp non-Gaussian noise inteUerevcc ePectively,and a fault diagnosis methob is p/poseP based on cycdstationa/covepWopp.
The deuoising mechanism of corrextropp is systematically analyzed bp theoretical analysis and peometrio diapram de-scUption.The deuoising mechanism of ovreuWosp and cycmstationa/coveuWopp are inter/uted in detail bp taping cosine signal and simulative amplitude mobumtion signal as examples,and Us poob adidty of noise suppression is verified s Thc viPration signals of local c/ch faults of inner and oxter Ungs of bearings are analyzed and processed bp using cycdstationa/correuWopp methob.Thc test results show that the cycdstationa/correutropp spec W ai dexsity has dc-mobumtion function,which can accorately UescUPe fuqueuch spectrum cha/cteUstics of local c/ch faults of bearings and ePectively extract wead signal subme/ed in stung noise euviunmeut.
Key wordt:rolling bearing；fault diapuosis；corrextropp;deuoising；cycdstationa/signal
机电设备故障产生的振动信号具有明显的非高斯和非线性等特征，相关分析、功率谱估计等基于信号二阶统计量的传统方法在处理这类信号时往往不能取得满意的效果［一7］。基于信号高阶统计量的双谱、高阶谱分析则在非线性、非高斯信号处理方面有着独特优势，但高阶统计量（Higher Ordee
收稿日期：2020-08-01；修回日期：2020-11-19
基金项目：国家自然科学基金项目（51375319）；河北省自然科学基金项目（E2013421005）；天津市支持京津冀科技成果转化项目（17YFCZZC00270）
作者简介：李辉（（968—），男，博士，教授，硕士生导师，研究方向为非平稳信号处理及机电设备故障诊断.E-mail: Huili68@163。StatWtics,HOS）存在计算方法复杂且计算量大的缺点［「5］。分数低阶统计量［2"5］（Fractiosal Lower Order Statistics,FLOS）尽管能在一定程度上消除非高斯噪声的影响，但却过度依赖被分析信号噪声Alpha值的先验知识，噪声抑制能力受到极大地限制。相关«［10-15］是一种分析高斯噪声和非高斯噪声的高效方法，已成功应用于通信信号检测、雷达回波信号检测、波达方向估计、信号滤波和时延估计等领域，且取得了较好的分析效果酗"9。虽然相关熵已成功应用于雷达、通信等技术领域，但在机电设备故障诊断领域的应用才刚刚起步，因此，将相关熵与其他信号处理方法相结合，开展基于相关熵技术的机电设备故障特征提取与诊
测试与应用李辉.相关熵的降噪机理及其在轴承故障诊断中的应用•36•
断，具有很重要的理论创新和工程应用价值70］。
近年来，基于振动信号分析的旋转机械故障
诊断方法在信号降噪、故障特征提取等方面取得
了较好的效果，其中的循环平稳分析和谱峭度方
法由于其高效性和稳健性引起了研究者的瞩
目71「2］。但传统基于信号二阶统计量的循环平
稳信号分析在处理强高斯噪声和非高斯噪声时会
造成性能衰退，甚至失效。因此，针对传统相关函
数和谱相关密度难以有效处理强非高斯噪声干扰
的问题，提出了基于循环平稳相关熵的故障诊断
方法，从理论分析、几何图解和信号仿真等几个方
面系统阐释了相关熵的降噪机理，并通过试验验
证循环平稳相关熵在滚动轴承故障诊断中有效处
理染噪信号的能力。
1相关熵及循环平稳相关熵
1.1相关熵的估计
对于任意2个实随机变量X,，其互相关熵可
定义为
严(xy)_£［心((-y)］,d)
式中：心(•)为满足Mercer条件的核函数;cr为
核函数的核长。r定义了随机变量x和y相似性
的特征长度尺度，即权重空间视角下特征空间映
射前后随机变量x与y之间距离的比例。
对于实信号x()e R，时变自相关熵可定义
为
卩；(22)_E{K7(2-x(2+T)]}，心(•)一般采用高斯核函数，其解析式为心7(t)，2(2+T]_
1[_||x()-x(+T II2]
L2r」⑵(3)
.r
式中1•“为一种范数算子。
在实际应用中，假设x(i)是长度为N的观测 样本，其自相关熵(下文统称为相关熵)的无偏估计可表示为
八1“
*(肌)二~—fX心7()-x()一肌)］,
一m+丄心尬
(4)式中:m为时延的采样点数,m=0,1,2,-・,N-1由(4)式估计的相关熵是一个正定的对称函数。
由相关熵卩X(m)构成的ToeplUz矩阵称为相关熵矩阵，即
V_
-卩(0)卩⑴卩⑵-•-F(N-1)-卩⑴卩(0)卩⑴-•-卩(N-2)
卩⑵卩⑴卩(0)-•-卩(N-3)
L卩(N-1)卩(N-2)卩(N-3)-•-卩(1」
⑸上述相关熵矩阵V是N X N的正定、对称矩阵。1.2循环平稳相关熵
对于循环平稳信号x(2，其循环平稳相关熵函数由时变自相关熵F：(2,t)对时间t 进行傅里叶变换得到，即
严
住(a,2)_I*(2T X2!U2,(6)
袖阀管J—8
对于满足循环平稳条件的随机信号x()，其循环平稳相关熵函数R X(a,T与循环平稳相关熵谱密度函数S：(a2)是傅里叶变换对，因此，将R：(a,2)对延时丁进行傅里叶变换可得
8
S：(a，/)_匚农(a,)v一吋U t⑺式中1为谱频率;a为循环频率。当a=0时，循环平稳相关熵谱密度退化为传统的功率谱密度。由于R：(a,)为广义循环相关函数，因此SX(a,)也称为广义谱相关密度函数。
S：(a,)向循环频率域上的投影P：(a)称为循环平稳相关熵轮廓图,P：(a)是循环频率a的函数，其取值对应于该循环频率a的循环平稳相关熵的最大值，定义为
P：(a)_mjixl S(a,/)I0(8) 1.3循环平稳相关熵谱密度计算步骤
在实际应用中可通过以下步骤计算信号的循环平稳相关熵谱密度：
1根据(4)式计算信号的相关熵。
2)根据(5)式计算信号的相关熵矩阵V。
3计算相关熵矩阵V各行的傅里叶变换，得到信号循环平稳相关熵函数矩阵R。
4)计算信号循环平稳相关熵函数矩阵R各列的傅里叶变换，得到信号的循环平稳相关熵谱密度函数矩阵S。
2相关熵的降噪机理
2.1理论分析论表见代理
将(2)式表示的时变相关熵展开为泰勒级数形式，即
•33•《轴承》2021年第3期测试与应用^：(t0)槡baU"
(9)
）（t+T］21。
由（9）式可知：
4时变相关熵X（t,T的泰勒级数展开式中
包含了随机变量［）（）-）（+T］的所有偶数阶
矩，因此，含有信号）（）的无限统计矩信息成分,
既含有二阶矩成分，又含有高阶矩成分。
2）高斯核函数的核长a是衡量时变相关熵中
二阶矩和高阶矩成分的关键参数，当a较大时，高
阶矩成分迅速衰减，二阶矩成分占统治地位，成为相关熵的主要成分，相关熵*（m）将趋向于传统的自相关函数；当a很小时，高阶矩成分占统治地位，成为时变相关熵的主要成分，而高阶统计量是处理非高斯、非线性信号的有效技术，可以最大限度地抑制任何平稳（高斯和非高斯）噪声以及非平稳的高斯噪声干扰。因此，选择合适的a，就可以有效处理非线性信号，抑制噪声。
吴学敏
3）可通过调整a来控制高斯核函数曲线的形状,a的引入使相关熵函数和循环平稳相关熵谱密度对于具
全民健身计划纲要有不同统计特性（概率密度）的信号都具有适应性，因此，可根据分析信号的性质和目的选择合适的a。
2.2几何图解
不失一般性，假设有2个随机变量x和y，则可由（1）式表示的互相关熵定义相关熵诱导的度量［4］（CoruO/py Induced Metric,CIM），即
S cim（x,y）=槡＜（0）-严（x,y）。（（0）
S cm（X,Y）是对称函数，当核函数为平移不变核函数（如高斯核函数）时,S cm（x,y）也是平移不变的。S CM（x,y是随机变量x与y之间相似性的一种度量,S cm（x,y越大，表示x与y越不相似，反之,S dM（x,y）越小，表示x与y越相似。为透彻理解S cm（x,y）蕴含的内在规律，绘制了a=1时S cm（x,0）的三维图（图1），其等高线图如图2所示。
图1S cim(x,0)三维图(a=1)
Fig.13D diagram of S cim(x,0)(a=1)
图2SCx,)等高线图(a=1)
Fig.2Contour map of S cim(x,0)(a=1)
由图1、图2可知，不同区域的S cm（x,0）具有不同的形状，根据S cm（x,0）的形状和性质，可以
将S cm（x,0）分为3个区域：
1）欧几里得区，即图2中心圆形区域部分。当空间中两点间距离很近时,S cm相当于厶0范数。
）过渡区，即图2中近似方形区域部分。当
空间中两点间距离比较近时0cm相当于厶范数。
3）矫正区，即图2中以4个角为中心的扇形区域部分。当空间中两点间距离很远时,S cm相当于厶0范数，在该区域，随着两点间距离的继续增
大,S cm的值将趋于饱和（不变），因此，该区域是信号异常值的免疫区。
综上可知,S cm可以作为2个随机变量相似性的度量工具4cm越小，表明2个随机变量越相似; S cm二0,2个随机变量完全相同;S cm越大,2个随机变量的差异越大。
当信号中含有幅值较大的异常值时，其S cm值将位于矫正区，而矫正区是信号异常值的免疫区,
S cim将趋于不变，异常值对S Q m几乎没有影响，因此，相关熵能有效抑制信号中的异常值，对于随机脉冲噪声具有很强的免疫力，因而基于相关熵的信号分析具有很好的鲁棒性。
为对比核长a对相关熵的影响，绘制了a= 0.I时S cm（x,0）的三维图及其等高线图，结果如图3、图4所示。对比图1—图4可知:a越大，欧几里得区范围越大，矫正区范围越小;a越小，欧几里得区范围越小，矫正区范围越大；离原点很远的点，其S cm表现为各向异性，即距离与方向有关。
由此可以看出：核长a对于空间中两点间距
离的度量具有重大影响，当a值较大时，欧几里得区范围较大，相当于传统的二阶统计量适用的区域，可以对线性信号进行有效处理；当a
值较小
测试与应用李辉•相关熵的降噪机理及其在轴承故障诊断中的应用•39•
时，欧几里得区范围较小，矫正区范围较大，相当于高阶统计量适用的区域，可以对非线性信号进行有效处理。因此，在实际应用时，可以根据被处理信号的性质，选择合适的核长r。
图3SCX，)三维图(r=0.1)
Fig.33D Uiayram oS S CIM(X,0)(r=0.1)
图4S cim（X,0）等高线图（r=0.1）
Fig.4Contour map of S C im（X,0）（r=0.1）
2.3小结
通过以上分析可以得出以下结论：
1）相关熵是基于核函数的随机变量间局部相似性度量方法，其既考虑了随机时间信号的统计特性（概率密度），又考虑了随机时间信号的时间结构（相关关系），是传统相关函数的一般化和推广，在包含传统相关函数特性的基础上提高了性能。
2）相关熵不仅包含随机变量幅值的二阶矩，而且包含了随机变量幅值的高阶矩，因此能够有效刻画信号的非线性特征，有效处理非线性信号。
3）相关熵能够有效抑制高斯及非高斯噪声，基于核函数的相关熵为高斯、非高斯噪声的处理提供了一种崭新的鲁棒性解决方法。
4）相关熵利用核函数，将原特征空间线性不可分的数据映射到高维希尔伯特空间，将其转变为线性可分的数据，从而能有效刻画原特征空间数据的非线性特征。
5）相关熵利用核函数，能高效进行内积运算，节省了计算时间。
3仿真验证
3.1相关熵核长的影响
由高斯核函数定义的相关熵有一个自由核长参数r用一个余弦信号说明核长r对相关熵的影响，并验证相关熵抑制非高斯噪声的能力。余弦信号的频率为10He，采样频率为1000He，采样时间为1-，余弦信号及其傅里叶变换如图5所示。
4080120160200
频率/Hz
图5仿真余弦信号及傅里叶变换
Fig.5Simulative cosine signal anU Us FFT 当r取0.04,0.40,1,10时，根据（4）式计算余弦信号的相关熵及其频谱，结果如图6、图6所示，由图可知：随着r的增大，相关熵会逐渐接近于传统的自相关函数；当r减小时，相关熵趋向于正值，相关熵与相关函数的时域波形则完全不同；当r趋近于0时，相关熵趋近于脉冲信号。r的取值越小，相关熵的频谱图中包含信号频率的高次谐波成分越多，随着r的增大，相关熵的频谱图中包含信号频率的高次谐波成分越少，例如当=1时，相关熵的频谱图与余弦信号的频谱图相同。综上可知，核长r是影响相关熵中统计量成分
7
S
・
O
时间/s
图6余弦信号的相关熵
Fig.6CoireuWopy fos cosine
signal
•4•《轴承》2229年第3期测试与应用
的权重系数，与根据相关熵的泰勒展开式的理论分析相吻合，其主要原因是高斯核函数是一种非线性变换，因此，在信号处理时应根据信号的性质选取适当的核长。的傅里叶变换图中也无法识别余弦信号的频率成分；因此，传统基于二阶统计量的信号处理方法，在处理含有非高斯噪声的信号时，会造成性能衰退，甚至失效。
1.0
0.5
i二0.04| 0
1.0 0.5—cr二0.4
o
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5
3
.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5
时间延迟/$
0.5 0
1.0 0.5
—cr二10|
8
6
4
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L
50100150200250300350400450500
频率/Hz 50100150200250300350400450500
频率/Hz
图7余弦信号相关熵的傅里叶变换
Fig.7FFT of cor/qt/pp for cosine sighct
gn205
为对比相关熵与传统相关函数处理非高斯噪
声的性能，将Alpha分布噪声(图5a)与余弦信号进行合成，合成信号如图5U所示，其广义信噪比为-14dB。由于强非高斯噪声的影响，从合成信号的傅里叶变换结果(图5c)中无法识别出余弦信号的频率成分。
图9合成信号的相关函数及其傅里叶变换Fig.9Correlation fuuction and FFT of composite sighct 为有效识别合成信号中的频谱成分，对合成信号进行相关熵运算(^=).4)，结果如图9所示，由图可知：相关熵图中可以观察到明显的周期性变化，而相关熵的傅里叶变换图中存在显著的谱峰(14He处)，表明相关熵能从强非高斯噪声中提取信号的周期成分。
20
时间/s
(a)Alpha分布噪声
爲-10--------------------------------------------------------星00.10.20.30.40.50.60.70.80.9 1.0
时间/s
(b)合成信号
卩l-0r
g0.5-
U50100150200250300350400450500
频率/Hz
(c)合成信号的傅里叶变换
图5余弦信号与Alphc分布噪声合成信号及其傅里叶变换Fig.5Composite signcl of cosine sighct with Alphc noise anh its FFT
合成信号的自相关函数如图7所示，由图可知：自相关函数在T二0时取得最大值，但从图中无法观察到合成信号中的周期性变化；而由于Alpha分布噪声的二阶统计量不存在，从自相关函数
(
比
•
S
5
S
(
比
•
S
5
S
u50100150200250300350400450500
频率/Hz
图19合成信号的相关熵及其傅里叶变换
Fig.19Cor/qt/pp anh FFT of composite sighct
3.2循环平稳相关熵降噪性能仿真
采用一个仿真调幅信号详细解释循环平稳相关熵的降噪机理，并验证其有效抑制噪声的能力，仿真调幅信号的解析表达式为
x(t)=[9+cas(2n/o2)]cas(2n/;h)+
+^o(),(19)式中2)为调制频率，取200Hz；-为载波频率，取9000Hem O为零均值高斯白噪声宀⑺为随机脉冲噪声。信号的采样频率为6000He，采样点数为600，通过该仿真调幅信号，利用循环平稳相
0j A/U
人
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
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