1．能量信号和功率信号
通常称为信号的能量密度或瞬时功率。信号的总能量是对在整个2
)(t x )(t x 2
)(t x 时间范围积分，即
（1.6）
pmma⎰∞
∞-=dt t x E x 2
)(同理，离散信号的总能量定义为
（1.7）
∑
∞
-∞
==
n x n x E 2
)(如果信号的总能量有限，即E x <∞，则称或为能量信号；如果信号的总能)(t x ()x n 量无限，即E x >∞，但是其平均功率有限，即
（1.8）
∞<=⎰
-∞→2
2
2
)(1
lim T
T dt t x T
P T x 或（对于离散信号）
（1.9）∞<+=∑-=∞→N
N
n T x n x N P 2
)(121lim 则称或为功率信号。
)(t x ()x n 然而，对于数字信号处理，信号处理的长度总是有限的。而在有限的区间内信号的总能量是有限，因此在处理运算时，可以对功率信号与能量信号不加以区别。仅当考虑平均功率、平均谱密度时，需要考虑系数。
1(21)N +2. 窄带信号与宽带信号
时间信号可以用不同频率的正弦波展开（或傅里叶级数展开），即信号的傅里叶积分反变换：
（1.10）
⎰
∞
∞
-ΩΩΩ=
d e X t x t j )()(21π
其中是的傅里叶变换，又称为频谱，它等于
)(ΩX )(t x （1.11）
⎰∞
∞
-Ω-=Ωdt e t x X t j )()(可见，时间信号可以看作是由简单的正弦波相加（线性叠加）组成，是t j e Ω)(ΩX 在频域或频率空间的表示。
)(t x 如果信号的频谱在较窄的频率区间内存在，则称其为窄带信号。与之对
)(t x )(ΩX 应的是，如果信号的频谱在较宽的频率区间内存在，则称其为宽带信号。
)(t x )(ΩX 3. 信号处理的理论基础
数字信号处理的理论基础：1）Nyquist—Shannon 采样定理；2）傅立叶级数；3）z －变换。时域分析、频域分析。FFT
算法，滤波器设计。
4.随机信号数字特征量
1）一维分布的数字特征量
(2-10)
{})()(t X E t x =μ⎰∞
∞
-=dx x t xf ),(它表示了全部样本函数（样本序列）在同一时刻取值的总体均值，它又称为一阶原点矩。 随机信号的均方函数甲基丙烯酸甲酯
(2-11)
{}
)()(2t X E t D x =⎰∞
∞
-=dx x t f x ),(2它表示了全部样本函数（样本序列）在同一时刻取值的总体均方，又称为二阶原点矩；它也表示了在样本函数空间的瞬时功率，也就是在总集意义下的瞬时功率。
随机信号的方差函数
(2-12)
{}2
2)]()([)(t t X E t x x
μσ-=⎰∞∞
--=dx x t f t x x ),()]([2μ它表示了随机信号在均值函数上下的起伏程度，它又称为二阶中心矩。
一维分布的数字特征量之间的关系
(2-13)
)()()(2
2t t t D x x x μσ+=证明：因为
⎰∞
∞
--=dx
x t f t x t x x ),()]([)(22μσ⎰∞
∞
-=dx x t f x ),(2⎰⎰∞
∞
-
∞
∞
-+-dx x t f t dx x t xf t x x ),()(),()(22
μμ由(2-10)，即可得(2-14)。
2）二维分布的数字特征量
对任意的，随机变量和的协方差称为随机过程的自协方T t t ∈21,)(1t X )(2t X )(t X 差函数（Autocovariance ） {} )]()()][()([),(221121t t X t t X E t t C x x x μμ--= (2-14)
⎰
⎰
∞
∞-∞
∞
---=2121212211),,,()]()][([dx dx x x t t f t x t x x x μμ而和乘积的期望)(1t X )(2t X (2-15)
{})()(),(2121t X t X E t t R x =⎰⎰
∞∞-∞
∞
-=
21212121),,,(dx dx x x t t f x x 称为随机过程的自相关函数（Autocorrelation ）。 )(t X 自协方差和自相关函数可以看作是随机变量的协方差与相关系数的推广，它们表示了随机信号不同时刻取值的关联程度。
由维分布的相容性，容易得出如下关系
n (2-16)
)
()(),(),(212121t t t t C t t R x x x x μμ+=证明：若和的联合分布密度函数为，则和的)(1t X )(2t X ),,,(2121x x t t f )(1t X )(2t X 边际分布密度函数分别为
, 2212111),,,(),(x d x x t t f x t f ⎰∞∞
-=1
212122),,,(),(x d x x t t f x t f ⎰∞
∞
-=且
1
),,,(212121=⎰⎰
∞∞-∞
∞
-x d dx x x t t f 因此
=
),(21t t C x ⎰⎰∞∞-∞
∞
-21212121),,,(dx dx x x t t f x x ⎰
⎰∞∞-∞
∞
--21
21
2
1
2
1
),,,()(dx dx x x t t f x t x
μ
⎰⎰∞
∞-∞
∞--2
1
2
1
2
1
1
2
),,,()(dx
dx x x t t f x t x
μ⎰⎰∞∞-∞
∞-+2
1212121),,,()()(dx
dx x x t t f t t x x μμ
⎰⎰∞
∞-∞
∞
-
=2
1212121),,,(dx
dx x x t t f x x ⎰⎰∞∞-∞
∞--2
1
21212
1
]),,,([)(dx dx x x t t f x t x
μ⎰⎰∞
∞-∞
∞--1
2
21
211
2
]),,,([)(dx dx x x t t f x t x μ⎰⎰∞
∞-∞
∞
-+2
12
12
1
2
狼文化1),,,()()(dx
dx x x t t f t t x
x μμ ⎰⎰∞∞-∞
∞
-=2
121
2121),,,(dx
dx x x t t f x x ⎰∞
∞
--2
数量级2221
),()(dx x t f x t x
μ⎰∞
∞
--1
1
1
1
2
),()(dx x t f x t x μ)
()(2
1
t t x
x
μμ+)
()(),(2121t t t t R x x x μμ-=3）二维随机过程的互协方差函数与互相关函数
为了表示了两个不同的随机信号和在不同时刻和
T t t X ∈),(T t t Y ∈),(T t ∈1取值的关联程度，定义两随机信号的互协方差函数与互相关函数为：
T t ∈2 互协方差函数（Cross-covariance
{
}
)]
()()][()([),(221121t t Y t t X E t t C y x xy μμ--= (2-33)
⎰
⎰
∞
∞-∞
∞
---=dxdy y x t t f t y t x y x ),,,()]()][([2121μμ 互相关函数（Cross-correlation ）
(2-34)
{})()(),(2121t Y t X E t t R xy =⎰
⎰
∞
∞-∞
∞
-=dxdy y x t t xyf ),,,(21其中是和的联合分布密度函数。
),,,(21y x t t f )(1t X )(2t Y 互协方差函数与互相关函数存在关系
(2-35)
)()(),(),(212121t t t t C t t R y x xy xy μμ+=5.二阶矩过程
定义：一个随机信号，对于所有的，其均值与均方都存在，就称其为二阶)(t X T t ∈矩过程。
性质：1）二阶矩过程的自协方差函数对于所有的存在；
T t t ∈21, 2）二阶矩过程的自相关函数对于所有的存在。T t t ∈21，由施瓦兹不等式
{}2
2211221})]()()][()([{)],([t t X t t X E t t C x x x μμ--={}{}
222211)]()([)]()([t t X E t t X E x x μμ-⋅-≤)
()(2212t t x x σσ⋅=6. 平稳随机过程
如果随机过程的均值是常数，它的自相关函数只取决于时间差
)(t X ),(21t t R x ，即
12t t -=τ)(12t t >=常数 (2-17)
{})()(t X E t x =μ （2-1
),(21t t R x {})()(21t X t X E ={})()(11τ+=t X t X E {})()(τ+=t X t X E )(τx R =8）
则称其为广义平稳随机过程。
平稳随机过程的一、二维分布的数字特征有以下性质：1）一维分布的数字特征都是常数
=常数 (2-21)
{})()(t X E t x =μμ=常数 (2-22)
{}
)0()()(2x x R t X E t D ====x D 常数 (2-23)
=-=)()()(22t t D t x x x μσ=2x σ2）二维分布的数字特征都是单变量函数
(2-24)
),(21t t R x )(τx R ==),(21t t C x ),(21t t R x )()(21t t x x μμ-2
)(x
x R μτ-=7. 平稳随机过程的各态遍历性
定义：一个平稳随机过程，如果满足：
1）它的单一样本的时间平均与总集平均（某一时刻的统计平均）相等；2）它的单一样本的时间自相关与总集自相关相等；则称其为各态遍历的随机过程。
意义：对于平稳随机过程，若满足各态遍历条件（实际中它们是常常能够满足的），它的样本空间的平均、相关可以用对时间的平均、相关来代替。只要用平稳过程在足够长时间的一次实现，就可以确
定过程的均值和相关函数。这正是遍历性定理在实用上重要的原因。
推论：各态遍历的平稳随机信号的在总集意义下的瞬时功率与单一样)(t X {
}
)(2
t X E 本函数的平均功率相等，即
)(t x {}
)()(21
22lim t X E dt t x T
P T
T
T x ==⎰
-
∞→)
0(x R =8. 联合平稳随机信号
1）二维随机过程的互协方差函数与互相关函数
为了表示了两个不同的随机信号和在不同时刻和
T t t X ∈),(T t t Y ∈),(T t ∈1取值的关联程度，定义两随机信号的互协方差函数与互相关函数为：
T t ∈2 互协方差函数（Cross-covariance
{
}
湖州织里镇)]
()()][()([),(221121t t Y t t X E t t C y x xy μμ--= (2-33)
⎰
⎰
∞
∞-∞
∞
---=dxdy y x t t f t y t x y x ),,,()]()][([2121μμ 互相关函数（Cross-correlation ）
(2-34)
{})()(),(2121t Y t X E t t R xy =⎰
⎰
∞
∞-∞
∞
-
=dxdy y x t t xyf ),,,(21
其中是和的联合分布密度函数。
),,,(21y x t t f )(1t X )(2t Y 互协方差函数与互相关函数存在关系
)
一面 阿累()(),(),(212121t t t t C t t R y x xy xy μμ+=2）联合平稳
如果随机过程和是平稳的，它们的互相关函数与时间的起点，
)(t X )(t Y ),(21t t R xy 而仅依赖于时间差，，即
12t t -=τ)(12t t > (2-36)
),(21t t R xy {})()(21t Y t X E ={})()(11τ+=t Y t X E {})()(τ+=t Y t X E )(τxy R =则称它们是联合平稳的。
联合平稳随机过程的互协方差函数
联合平稳随机过程和的互协方差函数为
)
(t X )(t Y (2-37))()()()(),(),(212121τμμτμμxy y x xy y x xy xy C R t t t t R t t C =-=-=
联合平稳随机过程的各态遍历
对于联合平稳的随机信号和，如果各自的样本函数和的时间互相)(t X )(t Y )(t x )(t y 关与样本总集互相关相等，即
(2-38)
{}⎰
-∞→+=+=T
T
T xy dt t y t x T
t Y t X E R )()(21
)()()(lim
τττ则称它们是各态遍历的联合平稳随机过程。此时，互协方差函数为
y
x xy xy R C μμττ-=)()( ⎰
⎰⎰-∞→-∞→-∞→⋅-+=T T
T T
T
T T
T
T dy
t y T
dt t x T
dt t y t x T )(21
)
(21
)()(21
lim lim lim
τ9. 随机序列分布函数与数字特征量
对于随机序列，仅需在上述各个公式中作替换：
，，， ，，
n t ↔11n t ↔22n t ↔m ↔τN T ↔∑⎰
-=-+↔N
N
n T T
N T
12121
例如，对于随机序列，平稳性条件是
x μ{})(n X E =∑-=∞→+=N
N
n N n x N )(121
lim {}∑-=∞→++=+=N
N
n N x m n x n x N m n X n X E m R )()(121
)()()(lim 10. 小结
随机信号的一、二维数字特征：均值函数、均方函数、方差函数、自协方差函数、自相关函数、互协方差函数、互相关函数。
平稳过程、渐进平稳过程：一维数字特征是常数（趋于常数）；二维数字特征是单变量函数（趋于单变量函数）。
平稳过程的各态遍历性：单一样本的时间平均等于样本函数空间的总集平均；单一样本的时间自相关等于样本函数空间的总集自相关。
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议