方均根速率和最概然速率
周开红
(云南师范大学物理与电子信息学院，云南昆明650092)
摘 要: 用麦克斯韦分布律讨论了气体分子分别作三维、二维和一维运动时的速率分布函数，并求出了这三种情况下气体分子的平均速率、方均根速率和最概然速率。 关 键 词: 麦克斯韦分布律；平均速率；方均根速率；最概然速率
中图分类号: O552.3 文献标识码: A 文章编号: 1007-9793(2003)03-0030-03
平均速率v-，方均根速率v rms和最概然速率v ma x是关于气体分子无规则运动的三种物理意义不同的统计速率，它们从不同方面反映了气体分子无规则运动的性质，对不同的问题各有不同的用处。如讨论分子速率分布时需用到最概然速率；讨论气体输运过程中计算分子运动的平均自由程时要用到平均速率，通过它来描述大量气体分子的运动本领；而在讨论气体压强、内能和热容中计算分子的平均动能时，要用到方均根速率，通过它来描述大量气体分子的做功本领。关于这三种速率v-,v rms,v max，一般
热学教材只对气体分子作三维运动的情形作了介绍，本文笔者就气体分子限于二维和一维运动时的v-,v rms和v max，作统一介绍。
若已知速率分布函数F(v)，则平均速率、方均根速率与最概然速率可以分别从下列方程求出:大鼠
自动扶梯安全标志v-=∫∞0v F(v)dv(1)
v r ms=∫∞0v2F(v)dv12(2)
dF(v)
dv v=v
m ax
=0(3)可见求这三种速率的关键是先求出速率分布函数，下面分三种情况讨论。1 气体分子作三维运动
根据麦克斯韦分布律，平衡态下，气体分子作三维运动时，速度的三个分量v x,v y,v z的分布函数分别为:
f M(v x)=m
2 kT
e-mv x2/2kT
f M(v y)=
m
2 k T
e-mv y2/2kT
f M(v z)=
m
2 kT
e-mv z2/2kT
合成肽
(4)
根据麦克斯韦的假定，速度的三个分量的分布是彼此独立的，于是有下式:
f M(v)=f M(v x)f M(v y)f M(v z)(5)式中f M(v)为速度分布函数，由(4)与(5)式可求出速度分布函数为:
f M(v)=m
2 kT
3/2
e-mv2/2kT(6)于是速率分布函数为:
F M(v)=4 v2f M(v)(7)即 F M(v)=4
m
2 kT
3/2
e-mv2/2kT v2(8) (6)式及(8)式的物理意义可由速度空间来说明，如图1所示:
第23卷第3期
2003年5月
云南师范大学学报
Jo urnal of Yunnan Normal Universit y
Vo l.23No.3
May2003 收稿日期:2002-11-26
作者简介：周开红(1968-)，女，云南省沧源县人，讲师，从事普通物理教学研究.
巴特沃斯滤波器
图1 三维情形下的速度空间Fig.1 V elo city space in thr ee dim ensio ns
在速度空间中，速度分布函数f M (v )表示分子代表点落在单位体元内的概率，而速率分布函数F M (v )则表示分子代表点落入以v 为半径的单位厚度球壳内的概率，也表示一个分子具有速率在v 附近单位
速率间隔内的值的概率。将(8)式分别代入(1)、(2)、(3)式即可求出平均速率、方均根速率与最概然速率分别为:
v -=
8kT
m
, v r ms =3kT
m
, v ma x =2k T m
2 气体分子限于二维运动
这时分子速度只有两个分量v x 、v y ，设速度的每个分量都服从麦克斯韦分布律，即
疲劳强度f M (v x )=m 2 k T
e -mv x 2/2kT
f M (v y )=
m 2 k T e
-mv y 2/2kT
则二维情形下的速度分布函数为:
f (v )=f M (v x )f M (v y )=
m 2 kT
e -mv 2/2kT
(9)下面求二维情形下气体分子的速率分布函数。二维情形下，速度空间由图1退化为图2所示
:
图2 二维情形下的速度空间
F ig.2 Velocit y space in two dimensions
这时速度分布函数f (v )表示分子代表点落入单位面元内的概率。于是由(9)式及图(2)可求出，在速度空间中分子代表点落入以v 为半径dv 为宽度的圆环面内的概率为2 v f (v )d v ，这相当于分子速率取v -v +dv 间的值的概率。于是气体分子具有速率在v 附近单位速率间隔内的值的概率为:
F (v )=2 v f (v )(10)
将(9)代入(10)式得:
F (v )=
mv kT
e -mv 2/2kT
(11)此即气体分子限于二维运动时的速率分布函数。
将(11)式代入(1)、(2)及(3)式可求出气体分子限于二维运动时的平均速率v -，方均根速率v r ms 和最概然速率v ma x :
v -=
kT 2m
, v rms =2kT m
, v max =kT m
3 气体分子限于一维运动
这时分子速度只有v x 分量，设速度的v x 分量服从麦克斯韦分布律，即
f M (v x )=
m 2 kT
e -mv x 2/2kT
于是一维情形下的速度分布函数为:f (v )=f M (v x )=
m 2 kT e
-mv 2/2kT
(12)下面求一维情形下的速率分布函数。在一维情形下，速度空间退化为如图3所示:
图3 一维情形下的速度空间Fig.3 V elo city space in one dimension
这时速度分布函数f (v )表示分子代表点落在单位线元上的概率，于是分子代表点落在离0点的距离为v ，长度为dv 的两段线元上的概率为
2dv f (v )，这相当于分子速率取v -v +dv 间的值的概率，于是气体分子具有速率在v 附近单位
・
国模王真31・第3期 周开红: 在不同维数下用麦克斯韦分布律求平均速率、方均根速率和最概然速率
速率间隔内的值的概率为:
F (v )=2f (v )(13)
将(12)式代入(13)式得:
F (v )=
2m kT
e -mv 2/2kT
(14)此即一维情形下的速率分布函数，将(14)式代入
(1)、(2)及(3)式即可求出气体分子限于一维运动时的平均速率、方均根速率与最概然速率:v -=2kT m , v r ms =kT
m
, v max =0下面将三种情形下的三种速率列在同一表格中,
以供比较:
表1 不同维数下的平均速率、方均根速率和最概然速率
T ab.1 T he A ver age Speed,T he Ro ot -M ean -Square Speed and T he M ost P ro bable Speed in Differ ent diment ions
一维二维三维平均速率v
-2kT m kT 2m 8kT m 方均速率v rms
k T
m 2kT m 3kT m
最概然速率v max 0
kT m 2kT m 参 考 文 献:
[1] 赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程：热学[M ].北
京：高等教育出版社,1998.71,132.
Discussion on the average speed ,the root -mean -square -speed and the most probable speed in different dimensions by using maxwell ’s distribution law
ZHOU Kaihong
(Scho ol of P hy sics and Electr o nic I nfo rma tio n ,Yunnan No rm al U niv er sity ,China Kunming 650092)
ABSTRACT : T he speed distributio n functio n and the three characteristic speeds (the average speed ,
the root-mean-square speed and the m ost pro bable speed)of gas m olecules in one dim ensio n,tw o dimensions and three dimensions are discussed by using M axw ell ’s distribution law.KEY WORDS : Max w ell ’s distr ibution law ;the average speed;the r oot-mean-square speed;the most probable speed
・
32・云南师范大学学报(自然科学版) 第23卷
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