整数规划
规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中， 变量限制为整数，则称为整数线性规划。整数线性规划可以分为下列⼏种类型： 1. 纯整数线性规划（pure integer linear programming）：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。有时，也成为全整数规
划。
2. 混合整数线性规划（mixed integer linear programming）：指决策变量中有⼀部分必须取整数值，另⼀部分可以不取整数值的整数
线性规划。
3. 0-1型整数线性规划（zero-one integer linear programming）：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
⽬前所流⾏的求解整数规划的⽅法，往往只适⽤于整数线性规划。⽬前还没有⼀种⽅法能有效地求解⼀切整数规划。
整数规划特点
（i） 原线性规划有优解，当⾃变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划优解全是整数，则整数规划优解与线性规划优解⼀致。
②整数规划⽆可⾏解。
③有可⾏解（当然就存在优解），但优解值变差。
（ii） 整数规划优解不能按照实数优解简单取整⽽获得。
太原电视台新闻频道求解⽅法分类
（i）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
（ii）割平⾯法—可求纯或混合整数线性规划。
（iii）隐枚举法—求解“0-1”整数规划：
偶氮二甲酰胺①过滤隐枚举法；
②分枝隐枚举法。
（iv）匈⽛利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。 （v）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
下⾯将简要介绍常⽤的⼏种求解整数规划的⽅法。
本⽂只介绍分⽀定界法和匈⽛利法。
分⽀定界法
⾸先不考虑变量的整数约束，设出它相应的松弛线性规划问题B进⾏求解。如果最优解不满⾜整数规划问题A的整数条件，这也意味着松弛线性规划问题B的最优⽬标函数必然是它的整数规划问题A最优⽬标函数的下界。⽽A的任意可⾏解的⽬标函数值则是最优⽬标函数的上界。所谓分⽀定界法就是缩⼩上界，增⼤下界来得到最优⽬标函数(通俗点说就是给B问题不断添加约束条件，直到有符合整数条件的最优解)。
分⽀定界是当前求解整数规划精确解的常⽤算法。
操作步骤有以下三步：
如图可⾏域为OABCDE，设最优解在C处，此时Xr不是整数，我们就考虑从可⾏域中划分出不相交的两部分(Sub1和Sub2)，除去的部分要求包含最优解C⽽且不包含任何整数解的区域。
这样⽤原来的⽬标函数，构造两个⼦问题Sub1和Sub2。
图像监控
1. 分⽀
由于这两个⼦问题的可⾏域都是原线性规划问题的⼦集，这两个⼦问题的最优解的⽬标函数值都不会⽐原线性规划问题的最优解的⽬标函数值⼤。
如果这两个问题的最优解仍不是整数解，则继续选择⼀个⾮整数的变量，继续讲这个⼦问题分解为两个更下⼀级的⼦问题。这个过程被称为“分⽀”。
金融时报中文2. 定界
3. ⽐较和剪枝
每⼀次分⽀得到的⼦问题最优解的⽬标函数值，都⼩于或等于分之前的最优解的⽬标函数值。⾮整数解的最⼤值作为新的上界。
确定整数解的⽬标函数值上下界不断更新，“剪除”⽬标函数值⼩于下界的分⽀的过程，称为定界。
匈⽛利法（指派问题）
指派问题模型为⼀个0-1规划模型。
solver
标准的指派问题是⼀类特殊的整数规划问题，⼜是特殊的0-1规划问题和特殊的运输问题。匈⽛利解法的关键是利⽤了指派问题最优解的性质：若从指派问题系数矩阵的某⾏(或某列)各元素分别减去⼀个常数k，得到新的矩阵与原矩阵有相同的最优解。
对于指派问题，由于系数矩阵均为⾮负，故若能载系数矩阵中到n个不同⾏和不同列的0元素(独⽴的0元素)，则对应的指派⽅案总费⽤为0，从⽽⼀定是最优的。
例题
1. 减去最⼩数
费⽤矩阵每⾏减去该⾏的最⼩数，使最⼩数变0
费⽤矩阵每列减去该列的最⼩数，使最⼩数变0
2. 试分配
穆勒五法先0最少的⾏，给0画圈，划去与圈同⾏以及同列的0
再0最少的列，给0画圈，划去与圈同⾏以及同列的0
不断进⾏以上这组操作，直到所有的0被圈掉或划掉。
⽆O⾏打√
新打√⾏0，对有0列打√
新打√列O，对有O⾏打√
反复2和3，直到打不出√。最后，对⽆√⾏划横线，有√列划竖线，构成覆盖零的最少直线
3. 匈⽛利法：覆盖0的最少直线(直线数与圈数相符)
令 为未覆盖数中最⼩者(此例中 是1)
1. 未覆盖数 统⼀减去
2. 单线覆盖数保持不变
3. 双线覆盖数统⼀加上
（打√ ⾏减 ，打√ 列加 ）
得到：
对这个新的费⽤矩阵⽤圈0划0，使⽤匈⽛利法.
得到：
于是，可以安排：甲——B；⼄——C；丙——D；丁——E；戊——A 总费⽤最⼩为：5+7+6+6=28。
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