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王 岳 蓝 梅
（济南职业学院，山东 济南 250103）
摘要：线性规划在解决金融和经济方面的问题上有着十分广泛的应用，对于简单的线性规划问题，图解法简单直观，易于掌握，普遍应用于有两个决策变量的线性规划问题中，能快速解决很多实际问题。通过金融和经济方面的两个案例说明如何建立数学模型并用图解法求解模型，解决问题。
关键词：图解法；线性规划；金融；经济
中图分类号：O13 文献标志码：B 文章编号：1673-4270(2019)05-0112-03
现代生活中，很多问题的解决需要通过数学模型快捷准确地求解，如果所建立数学模型的目标函数是自变量的线性函数，它的约束条件也是自变量的线性等式或者不等式，这样的模型就是线性规划模型。
线性规划模型主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排、金融投资等多方面问题，特别是最优化的问题。它是一种重要的数学模型，是运筹学的一个基本分支。对于目标函数是含有两个自变量的线性函数，在线性约束条件下，求目标函数的最优解可以运用数形结合的图解法。在简单的线性规划问题中，图解法的应用是十分广泛的，特别是在金融和经济方面，能帮助人们快速方便地解决很多问题。 一、线性规划模型建立求解的基本思路与步骤建立线性规划模型，首先要弄清决策目标是什么，从而确定目标函数。进一步明确哪些因素影响目标函数，决策变量分别是什么，它们对目标函数的影响系数，且与目标函数是否呈线性关系。然后要确定哪些资源或者需求约束制约着目标函数，决策变量对这些资源或需求的单位消耗是多少？从而确定约束条件，然后建立线性规划模型，最后通过一定方法求解模型的最优解。线性规划模型建立求
解的基本步骤可总结为：
第一步，先设出决策变量，建立目标函数；第二步，出决策变量满足的所有约束条件；第三步，求出目标函数的最优解。
二、图解法求解线性规划模型的使用步骤对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标平面上根据问题的约束条件，画出目标函数的研究区域（可行域），利用函数在可行域内不同位置
的取值出目标函数的最大或最小值，从而求出目标函数的最优解，这就是图解法的基本思路。图解法简单直观，易于掌握，在求解线性规划模型时应用图解法可以按照下面步骤进行：
第一步，建立平面直角坐标系，画出线性约束条件下的可行域；第二步，作出目标函数的0等值线；第三步，将0等值线向可行域内平行移动，出直线经过可行域时目标函数的最优解；第四步，确定最优解的坐标，并把最优解坐标代入线性目标函数，求出最大值或最小值。
三、图解法在金融和经济问题中的案例分析【案例1】现在有甲、乙两个投资项目，根据预测，甲、乙两个项目可能获得的最大盈利率分别为100%和50%，最大亏损率分别为30%和10%，我们计划投资的总金额不超过10万元，资金亏损不
作者简介：王 岳（1978—），女，山东济南人，济南职业学院公共教学部数学教研室主任，副教授； 蓝 梅（1968—），女，山东济南人，济南职业学院公共教学部数学教研室副教授。基金项目：本文系2018年度济南市哲学社会科学规划项目“高职院校学生核心能力培养正向激励的实证研究”（项目编号： JNSK18C14）的部分研究成果。 ·113·
超过1.8万元，那么我们对甲、乙两个项目如何分配投资，才能使可能的盈利最大化？
（一）问题分析
金融投资中，资金如何分配是一个典型的线性规划问题。在这个案例中，要解决的主要问题是：对甲乙两个项目如何分配投资金额，才能使投资的总盈利额最大。因此，该问题的目标函数是两个项目投资的总盈利额，两个决策变量是甲乙两项目各自的投资金额。
建立了线性目标函数后，再根据投资要求出两个决策变量应满足的所有约束条件，确定线性规划数学模型，进而利用图解法求出两个项目投资额的最佳分配方案。
（二）问题求解
1. 先设出决策变量（自变量），建立目标函数设投资人投资甲项目的金额为x 万元，投资乙项目的金额为y 万元，投资的总盈利额为Z 万元。
由于项目投资的盈利额=投资额盈利率，所以根据甲乙两项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可以得到甲项目的盈利额为100%x，即x。乙项目的盈利额为50%y，即0.5y。因此，目标函数投资的总盈利额是两项目的盈利额之和，即Z=x+0.5y，这是一个线性函数。该问题是求解目标函数的最大值，记为：maxZ = x+0.5y 。
2. 出自变量满足的约束条件
首先，投资总金额不超过10万元，可以得出第一个约束条件为：x+y ≤10。其次，投资的资金亏损不能超过1.8万元，而亏损额=投资额×亏损率。根据甲乙两项目的最大亏损率分别为30%和10%，可以得到第二个约束条件0.3x+0.1y ≤1.8。另外还要考虑到两个项目的投资金额不可能为负值，所以又生成了两个约束条件x ≥0，y ≥0。
在约束条件设置过程中，值得注意的是，两个条件中，甲乙两项目的投资额x 和y 的值可以等于0，不等式中包含等号，也就是说甲乙两个项目可以只投资其中的一个。
因此，该线性规划问题的数学模型为：
3. 用图解法求目标函数的最优解
第一，利用两个决策变量建立平面直角坐标系，并在所有约束条件下，画出目标函数的可行域，如图1所示。
第二，作出目标函数的0等值线，即Z=0时所对应直线x+0.5y=0（这个直线方程也写成y=-2x）。
第三，将0等值线向可行域内平行移动，Z 相当于直线的截距，当0等值线平移至点A 点处时，直线在可行域内的截距 Z 取得最大值，即目标函数投资中盈利额 Z 取得最大值。
第四，求出A 点坐标。
图1
由于目标函数在可行域中A 点处取得最大值，因此我们只要求出A 点坐标，即得出目标函数取最大值时所对应的x 和y 的值。A 点是直线x+y=10和直线0.3x+0.1y=1.8的交点。
联立两直线方程，形成方程组：
求解得点A 的坐标为（4，6）
所以，当x=4，y =6时，目标函数 Z 取得最大值，最大值为max Z = 4 + 0.5×6=7
因此，当甲、乙两个项目分别投资4万元和6万元时，我们得到的总盈利额最大，最大值为7万元。
【案例2】某工厂生产甲、乙两种产品，生产1件甲产品需要在设备A 上加工2小时，在设备B 上加工1小时，销售后获得利润40元；生产1件乙产品需要在设备A 上加工1小时，在设备B 上加工2小时，销售后获得利润50元，工厂每天可供利用的设备A 加工工时为120小时，可供利用的设备B 加
工工时为90小时，
问工厂在每天内应如何安排生产，
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才能使得两种产品销售后获得的总利润最大？
本案例仍然可以按照上述线性规划问题的求解方法，利用图解法求解最优解。
解：设工厂在每天内生产x 件甲产品和y 件乙产品，两种产品销售后的总利润为Ｓ元。
由于1件甲产品销售后获利40元，因而x 件甲产品销售后获利40x 元；由于1件乙产品销售后获利50元，因而y 件乙产品销售后获利50y 元。于是两种产品销售后获得的总利润为
小阿姨与小学生S = 40x + 50y
这个线性函数即为目标函数，求它在约束条件下的最大值。
末日的回响
根据已知条件中不同设备加工工时等条件的限制，可列出四个约束条件：2x + y ≤120，x + 2y ≤90，x ≥0，y ≥0
因此，该线性规划问题的数学模型为：
萃取精馏应用图解法求解：建立平面直角坐标系xOy，通过约束条件，画出目标函数的可行域OACB，如图2所示。做出目标函数S 的0等值线，将0等值线在可行域内向上平行移动，当0等值线平移至点C 处时，目标函数取得最大值。点C 是两直线的交点，联立直线方程，求出C 点坐标(50,20)，并代入目标函数，求出目标函数的最优解。
大，最大利润是3000元。
这两个案例都属于目标函数含两个决策变量的简单的线性规划问题，主要运用了数形结合的思想，利用图解法解决问题，这种方法方便易行。但关键是要建立正确的目标函数，写出所有的约束条件，当约束条件比较多时，可以从需求和限制等不同角度依次写出自变量满足的不等式，这样才能借助图形来解决问题。
在线性规划问题中，如果决策变量多于两个时，图解法需要在三维立体图形上使用进而确定最优解，但画出立体图形相对困难。因此，当决策变量多于
两个时，不方便再画出图形，利用图解法求解。所以图解法广泛应用于有两个决策变量的线性规划问题中，可以解决金融和经济等很多方面的实际问题。
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2017.
（责任编辑：汝艳红）顶尖人才
图2
所以，工厂在每天内应生产50件甲产品与20件乙产品，才能使两种产品销售后获得的总利润最
程目标开始做起，中职阶段重基础知识和基础技能，高职阶段重能力提升和持续发展，从而提高教学水平和教学质量，培养可持续发展的技能人才。
中国管理>方正防火墙参考文献
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