简单的线性规划问题解法探索
简单的线性规划问题的常见解法是直线平移法和交点代入法，两种方法首先都是在直角坐标系中画出约束条件对应的可行域，再进行问题解答.画出可行域，分析目标函数是解答这类问题的常规思路，但上面的思路能否进行优化，很是困惑，一直思考着.困惑的原因是，直线方程的一般式Ax+By+C=0与对应的不等式Ax+By+C>0（0（ahp0表示的平面区域在直线l：Ax+By+C=0的一侧的方向；向量-n的方向是不等式Ax+By+C0时向量n的方向是不等式Ax+By+C>0表示的平面区域在直线Ax+By+C=0的一侧的方向；k0表示平面区域在直线3x-2y+6=0的（）. A.左下方B.左上方C.右下方D.右上方
解析直线3x-2y+6=0的法向量n=（3，-2）在直角坐标系里指向右下方，又不等号是“>”，由命题1可知不等式3x-2y+6>0表示平面区域在直线3x-2y+6=0的右下方，选C.
2可行域开闭的判定方法和线性目标函数的最值问题求解方法
图1因为不等式Ax+By+C0（≥0）的形式，所以下面为了研究问题的方便，规定：①可行域
不为空集；②约束条件里不等式先转换为Ax+By+C>0（≥0）的形式.给出下面几个定义，再做研究.
定义1将法向量n=（A，B）称为不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域的指向向量.
定义2如图1，按逆时针旋转的共起点的三个向量a，b，c，称向量b在向量a，c之间.
定义3若向量a按逆时针旋转θ后与向量b同向（θ∈[0，2π]），称θ为从向量a到向量b的旋转角.
关于线性目标函数最值问题有如下命题：
命题2约束条件中的不等式组的指向向量在直角坐标系中以原点为起点，按逆时针标出依次记为n1，n2，…，nk，指向向量n1，n2，…，nk所对应的直线分别为l1，l2，…，lk，直线lm的方程为amx+bmy+cm=0（m=1，2，…，k），nm=（am，bm），线性目标函数z=ax+by+c的目标向量为n=（a，b）.则有
（1）若存在向量nm，nm+1的旋转角θ满足θ>π，则可行域是无穷开区域，且此时直线lm
和lm+1的交点不是可行域的顶点；若对任意向量nm，nm+1（m∈[1，k]，规定m=k时，nm+1=n1，后同）的旋转角θ满足θ∈（0，π），则可行域是闭区域且直线lm和lm+1的交点是可行域的顶点.
（2）若目标向量n在向量nm，nm+1之间，且向量nm，nm+1的旋转角θ满足θ∈（0，π），则目标函数z=ax+by+c在点A处取得最小值；若向量-n在向量nm，nm+1之间，则线性目标函数z=ax+by+c在点A处取得最大值（如图2）.
推论若向量n与向量nm（m=1，2，…，k）共线时，则目标函数z=ax+by+c取最小值的最优解有无数个，且所有最优解在直线lm上；若向量-n与向量nm（m=1，2，…，k）共线时，则目标函数z=ax+by+c取最大值的最优解有无数个，且所有最优解在直线lm上.
由于任意两个相交直线的法向量所成角θ∈（0，π），易证命题2（1）成立，下面给出命题2（2）的证明.
图2证明因为目标向量n在向量nm，nm+1之间，且nm到nm+1的旋转角小于π，如图2，由平面向量基本定理知，存在唯一实数对s、t，使得n=s?nm+t?nm+1且s>0，t>0.
即（a，b）=s?（am，bm）+t?（am+1，bm+1）=（鹟科s?am+t?am+1，s?bm+t?bm+1）.
所以a=s?am+t?am+1，
b=s?bm+t?bm+1.
因为amx+bmy+cm≥0所以amx+bmy≥-cm，同理am+1x+bm+1y≥-cm+1，
于是z=ax+by+c=（s?am+t?am+1）x+（s?bm+t?bm+1）y+c=s?（amx+bmy）+t?（am+1x+bm+1y）+c
≥-（s?cm+t?cm+1）+c=定值.其中等号当且仅当amx+bmy+cm=0，
am+1x+bm+1y+cm+1=0时成立.
即目标函数z=ax+by+c在直线lm和lm+1的交点A处取得最小值.同理可以证明目标向量的相反向量-n在向量nm，nm+1之间时，线性目标函数z=ax+by+c在点A处取得最大值.
以上结论的逆命题也成立，其他结论的证明留给有兴趣的读者思考完成.
3应用举例
例2若x、y满足条件2x+y-12≤0，
3x-2y+10≥0，
x-4y+10≤0，求z=x+2y的最小值，并求出相应的x、y的值.
解析根据条件作出可行域，及对应的指向向量如图3所示.
微型齿轮 显然目标向量n在向量（3，-2）和（-1，4）之间，有命题2（2）知，目标函数z=x+2y的最小值在直线3x-2y+10=0和x-4y+10=0的交点（2，-2）处取得，此时zmin=-2.图3例3已知变量x，y满足x-4y≤-3，
3x+5y≤25，
x≥1.设z=ax+y（a>0），若z取最大值时对应的点有无数个，求a的值.
解析目标向量彩石中学n=（a，1），指向向量如图4所示，若z取最大值时对应的点有无数个，由命题2（2）的推论可知向量（-a企业协同办公系统，-1）与（-3，-5）同向，即-5a+3=0，a=35.
图4图5例5已知变量x，y满足约束条件x+y≤2，
x-y≤0特殊护理，
x≥0.目标函数z=ax+y只在点（1，1）处取最小值，则有（）.
A.a>1B.a>-1C.a
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