北漂族13.2 课后习题详解
排队长度一、问答题
1. 布莱克-斯科尔斯股票期权定价模型中对于一年后股票价格概率分布的假设是什么?对于一年内连续复利收益率的假设是什么? What does the Black －Scholes stock option pricing model assume about the probability distribution of the stock price in one year? What does it assume about the continuously compounded rate of return on the stock during the year?
答：布莱克-斯科尔斯股票期权定价模型中假设一年后(或任意某一未来时段)股票价格服从对数正态分布。这等价于假设股票在一年中按连续复利计的收益率服从正态分布。 2. 股票价格的波动率为年率30％，在一个交易日后价格变化百分比的标准差为多少?The volatility of a stock price is 30% per annum, what is the standard deviation of the percentage price change in one trading day?
答：在时间△t
内价格变动百分比的标准差是
，其中σ是波动率。
在本题中，σ=0.3，假设一年中有252个交易日：因此：
即标准差为1.9％。
3. 解释风险中性定价原理。
Explain the principle of risk-neutral valuation.
答：当期权和其他衍生工具的价格以标的股票的价格为基础表示时，他们独立于风险偏好。因此，真实世界中的期权和风险中性世界中的期权有着相同的价值。为了给期权定价，现做出风险中性世界的假定，从而简化了分析。在风险中性世界里，所有证券的期望收益率都等于无风险利率。此外，在风险中性世界里，无风险利率也是用于折现预期未来现金流的合适折现率。
参见本章复习笔记。
4. 计算一个3个月期的无股息股票欧式看跌期权的价格，这里期权执行价格为50美元，股票当前价格为50美元，无风险利率为年率10％，波动率为年率30％。Calculate the price of a three-month European put option on a non-dividend-
paying stock with a strike price of $50 when the current
stock price is
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$50, the
risk-free interest rate is 10% per annum, and the volatility is 30% per annum.
答：本题中，
欧式看跌期权价格为：
（美元）即看跌期权价格为2.37美元。
5. 若在两个月后股票预计将支付股息1.5美元，习题4中的结果会如何变化?
What difference does it make to your calculations in Problem 12.4 if a
答：本题中，在使用布莱克-斯科尔斯公式之前，需从股票价格中减去股利的现值。因此，
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（美元）又：
（美元）所以：
欧式看跌期权价格为：
（美元）即看跌期权价格为3.03美元。
6. 什么是隐含波动率? 如何计算?
What is implied volatility? How can it be calculated?
答：隐含波动率是使得布莱克-斯科尔斯模型中期权价格等于其市场价格的波动率，可以由迭代计算法获得。
7. 股票的当前价格为40美元，假定其收益率期望为15％，波动率为25％。在两年内的股票收益率（连续复利）的概率分布是什么?
A stock price is currently $40. Assume that the expected return from the stock
of return (with continuous compounding) earned over a two-year period'?
答：在本题中，μ=0.15和σ=0.25。根据公式：
可得2年期连续复利的回报率的概率分布是：
也即：
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预期的价值回报率为每年11.875%，标准差为每年17.68%（=）。
8. 某股票价格服从几何布朗运动，其中收益率期望为16％，波动率为35％，股票的当前价格为38美元。
（a）一个该股票上具有执行价格为40美元，期限为6个月的欧式看涨期权被行使的概率为多少?
（b）一个该股票上具有同样执行价格及期限的欧式看跌期权被行使的概率为多少?
A stock price follows geometric Brownian motion with an expected return of \16% and volatility of 35%. The current price is S38.
（1）What is the probability that a European call option on the stock with an exercise price of $40 and a maturity date in six months will be exercised?
（2）What is the probability that a European put option on the stock with the same exercise price and maturity will be exercised'?
羊城电子答：（a ）要求的概率就是
6个月后股票价格超过
40美元的概率。假设6个月后股票
的价格是S T ，则有：
也即：
因为ln40=3.689，则要求的概率为：
从正态分布表可以得出N(0.008)=0.5032，结果要求的概率是0.4968。
（b ）对于看跌期权，要求的概率就是6个月后股票价格低于40美元的概率，同法可得值为：
1-0.4968=0.5032
。9. 采用本章中的符号，证明S T
的95
％置信区间介于
与
之间。
Prove that, with the notation in the chapter, a 95% confidence interval for St is between
答：根据股票价格的对数正态性质：
给定lnS T 的95%
的置信区间：
和
因此，S T 的95%的置信区间：
和
也即和。
10. 一个证券组合经理声称自己在过去10年中平均每年的收益率为20％，这种说法在什么方面会引起误解?
A portfolio manager announces that the average of the returns realized in each year of the last10 years is 20% per annum. In what respect is this statement misleading?
答：这种说法容易让人混淆不同收益率的概念：题中所给每年实现的收益率的平均值通常高于这10年中的的年化收益率（年计复利）。第一个收益率为算术平均收益率，第二个收益率为几何平均收益率。而判断10年期投资的指标应该是年化收益率，对于一定金
额的资金，比如说是1000美元，在这个证券组合上投资10年时，将会获得每年低于20%的年化收益率（年计复利）。证券组合经理的说法夸大了该组合的收益率水平。
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