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⼀般的Hull-White模型(传统模型)Hull-White模型是对未来利率进⾏建模的⼀个模型。按照最通⽤的表述,它属于⽆套利模型的⼀类,能够适应当今的利率期限结在⾦融数学中,Hull-White模型 衢地合交构。将未来利率演变的数学描述转换为树或晶格是相对直接的,因此可以在模型中对诸如百慕⼤掉期(Bermudan Swaption)等利率衍⽣产云南中医学院教务管理系统
品进⾏估值。
John C. Hull和Alan White在1990 年描述了第⼀个Hull-White模型。该模型在当今市场上仍然很流⾏。
该模型为短期利率模型,通常具有如下的Dynamics。 最受欢迎的低维马尔可夫模型便是Hull-White (赫尔-怀特)模型。通常写为HW模型。使⽤的因⼦数量⼀般为⼀到两个,这⾥我们将重点关注Hull-White单因⼦模型。
另外,考虑到最新的CVA计算,已经对原始的传统模型执⾏了更有效的更新。这些现代模型包括GSR模
型(Gaussian Short Rate)和LGM模型(Linear Gaussian Model),但是在这⾥我们考虑传统的HW模型。
在HW模型中,假设短期利率遵循正态分布且具有平均回归性。
粗略地说,平均回归系数是
·如果利率超过长期平均⽔平,则有下降的趋势。
·如果利率低于长期平均⽔平,则有上升趋势。
平均回归强度⽤于控制不同期限利率之间的相关性。期限结构模型是⼀个多资产模型,因此存在许多基础资产。 此处,利率模型中的基础资产是指具有各种到期⽇的贴现债券。
平均回归强度会影响具有不同到期⽇的贴现债券价格之间的相关性,我将在另⼀篇⽂章中对此进⾏详细介绍。
经常出现在教科书中的Black-Scholes模型中的标的资产变化率(Return)为正态分布,但是在⼤多数
利率模型中标的资产本⾝便遵循正态分布,HW模型也是如此。这是因为利率本⾝已经代表了变化率(Return)。人工电源网络
HW模型具有以下三个参数。
·Theta
·Kappa
·Sigma
在传统的HW模型中,唯⼀依赖于时间变化的参数是Theta,⽽Kappa和Sigma都是平坦(Flat)的。
⾸先,Theta代表平均回归⽔平。它设置为复制当前的收益率曲线。由于此类Theta是通过解析公式计算得出的,因此不需要进⾏Calibration。但是,由于Theta的解析公式包含瞬时远期利率(Forward Rate),因此很难处理。
顺便说⼀下,现代的HW模型使⽤的公式是将Theta替换为Today的贴现债券价格。然后,Kappa(κ)表⽰均值回归的强度。理想的是校准不同期限的利率之间的相关性,但实际上,它将通过优化市场上的掉期价格与Sigma⼀起进⾏校准(Calibration)。
同时,在现代HW模型中,Kappa是由交易员输⼊的,⼀般⼤概会设置⽐如5%之类的适当值。当然,适当并不是完全随机的,但通常会设置为与Totem的百慕⼤掉期(Bermudan Swaption)价格相匹配的值。
最后,Sigma代表短期利率波动,并通过优化对市场掉期价格进⾏了校准。HW模型的⽤法是
·带可赎回条款的利率Exotic产品定价
城市房屋拆迁管理条例·⽤作利率外汇,利率股价等混合模型的利率部分的建模
·⽣成⽤于CVA等XVA计算的利率Scenarios
等等。