梁
娟1，赵治荣1，张园园2
（1.太原工业学院理学系，山西太原030008；2.山西财经大学资源环境学院，山西太原030006）
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摘
要：研究了期权价格变化的Black-scholes 方程，利用Δ-对冲原理和Ito 积分公式，通过函数变换转化为 抛物线方程，并通过泰勒展开得到了方程的差分格式。证明了差分格式的相容性、差分解的稳定性以及敛散性.通过数值模拟，验证了差分格式的有效性。 关键词:Black-scholes 方程；有限差分格式；相容性；数值实验
中图分类号:O242.21文献标识码:A
收稿日期:2020-03-22
基金项目：山西省自然科学基金项目[201901D111322]
作者简介：梁娟(1987-)，女，山西阳泉人，硕士，讲师，研究方向：偏微分方程与动力系统。
文章编号:1674-0874(2020)05-0046-04
Black-scholes 公式期权定价的表达式的数值解
在计算和分析方面比解析解有很大的优越性。本文对期权定价公式的差分格式作进一步的分析。
Black-scholes 期权定价模型推导：
原生资产价格演化遵循几何Brown 运动：d S t
S t =μd t +σd W t ，(1)利用Δ-对冲技巧，我们来给出期权定价的数学模型[1-3]。
假设∏t =V t -ΔS t 为t 时刻形成的投资组合，
则由文献[4]得到在t +d t 时刻，投资组合的回报为：
第一看点∏
t +dt
−∏t2008台湾大选
∏t
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=r d t ，即：
d V t -Δd S t =r ∏t d V t -ΔS t )d t ，
(2)
由于V t =V (S t ,t )，其中S t 是由随机微分过程(1)
确定的随机过程，由Ito
dmx512协议
公式得：d V t =σS ∂V ∂S
d W t +
(∂V ∂t +12σ2S 2∂2
V ∂S 2
+μS ∂V ∂S )d t ，(3)
联立(2)和(3)得：(σS ∂V ∂S
-ΔσS )d W t +
(∂V ∂t +12σ2S 2∂2
V ∂S 2
+μS ∂V ∂S -ΔμS )d t =r (V -ΔS )d t ，
σS ∂V ∂S
-ΔσS =0，令Δ=∂V ∂S
，将Δ代入(3)式，得：
∂V ∂t +12σ2S 2∂2V ∂S 2
+rS ∂V ∂S -rV =0，(4)
方程（4）为Black-scholes 方程[5-6]。
作函数代换x =InS ,τ=T -t ，将方程(4)转化为常系数抛物型方程的Cauchy 问题[7]：
ìíîïïïï
∂V ∂τ-12σ2∂2V ∂x 2-(r -σ22)∂V ∂x +rV =0, V (x ,0)=(e x -K )+,x ∈R ,0<τ≤T 。
(5)
令变换函数V =ue ατ+βx
，然后选择适当的定值
α,β，将方程(5)转化为一个热传导方程，由
V τ=e ατ+βx
(u τ+αu ),V x =e
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ατ+βx
(u x +βu ),
V xx =e
ατ+βx
(u xx +2βu x +β2u ),
(6)
将(6)式代入方程(5)中，消去e ατ+βx
得：
u τ-σ22u xx -(β2σ+r -σ2
2
)u x +
[r -β(r -σ22)-σ2
2
β2+α]u =0，
取：β=12-r σ
2，
α=-r +β(r -σ22)+σ22β2=-r -12σ
2(r -σ2
2)2，
那么在函数变化的情况下，方程(5)就可以变成
如下形式：
第36卷第5期山西大同大学学报(自然科学版)
Vol.36.No.52020年10月
Journal of Shanxi Datong University(Natural Science)Oct 2020
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