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概率论与数理统计讲义

§2.3　连续型随机变量及概率密度

（一）连续型随机变量及其概率密度

定义　若随机变量X的分布函数为

计算机研究与发展其中f(t)≥0。

就是说X是连续型随机变量，并且非负函数f(x)是连续型随机变量X的概率密度函数，简称概率密度。

由连续型随机变量及概率密度函数的定义知概率密度有下列性质

（1）

（2）

（3）（a≤b）

前面已曾经证明，由于连续型随机变量是在一个区间或几个区间上连续取值，所以它在任何一点上取值的概率为零，即

若X是连续型随机变量则有P(X=x)=0,其中X是任何一个实数。

∴有

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	（4）f(x)≥0

证（1）在微积分中已知积分上限的函数对上限x的导数

它说明分布函数是概率密度的原函数，并且证明连续型随机变量的分布函数F(x)是处处可导函数，所以连续型随机变量的分布函数F(x)处处连续。

（2）

（3）∵P(a<X≤b)=F(b)-F(a)

因为F(x)是f(x)的原函数

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因此，对连续型随机变量X在区间上取值的概率的求法有两种：

	（1）若F(x)已知，则P(a<X≤b)=F(b)-F(a) （2）若f(x)已知，则P(a<X≤b)= 金水翠峰>咸阳师范学院学报

例1　设

求（1）c

（2）

　解（1）

而时，p(x)=0,

（2）

例2.设连续函数变量X的分布函数为

求：

北京奥运会入场式（1）X的概率密度f（x）;

（2）X落在区间（0.3，0.7）的概率。

解：（1）

（2）有两种解法：

或者

例2－1　若

解：

例2－2　若求x~f(x)

解：

例2－3，若

解：

例3.若

解：（1）x≤0时，f（x）=0，

（2）0＜x＜1时，

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