排队论模型——精选推荐

排队论模型

1. 模型背景

排队论发源于上世纪初。当时美国贝尔电话公司发明了⾃动电话，以适应⽇益繁忙的⼯商业电话通讯需要。这个新发明带来了⼀个新问题，即通话线路与电话⽤户呼叫的数量关系应如何妥善解决，这个问题久久未能解决。1909 年，丹麦的哥本哈根电话公司 A.K. 埃尔浪( ( Erlang) ) 在热⼒学统计平衡概念的启发下解决了这个问题。

2. 模型介绍

1. 由于顾客到达和服务时间的随机性，现实中的排队现象⼏乎不可避免；

2. 排队过程，通常是⼀个随机过程，排队论⼜称 “ 随机服务系统理论 ”

3. 排队系统的要素

1. 顾客输⼊过程；

2. 排队结构与排队规则；

3. 服务机构与服务规则；

4. 顾客输⼊过程

1. 顾客源( ( 总体) ) ：有限/ / ⽆限;

2. 顾客到达⽅式：逐个/ / 逐批 ;( 仅研究逐个情形) )

3. 顾客到达间隔：随机型/ / 确定型;

4. 顾客前后到达是否独⽴：相互独⽴/ / 相互关联；

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5. 输⼊过程是否平稳：平稳/ / ⾮平稳；( ( 仅研究平稳性) )

5. 排队结构与排队规则

1. 顾客排队⽅式：等待制/ / 即时制( ( 损失制 );

2. 排队系统容量：有限制/ / ⽆限制 ;

3. 排队队列数⽬ : 单列/ / 多列;

4. 是否中途退出 : 允许/ / 禁⽌;

5. 是否列间转移 : 允许/ / 禁⽌;

( ( 仅研究禁⽌退出和转移的情形) )

6. 服务机构与服务规则

1. 服务台( ( 员) ) 数⽬; ; 单个/ / 多个;

2. 服务台( ( 员) ) 排列形式; 并列/ / 串列/ / 混合;

论防卫过当3. 服务台( ( 员) ) 服务⽅式; 逐个/ / 逐批 ;( 研究逐个情形) )

4. 服务时间分布; 随机型/ / 确定型;

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5. 服务时间分布是否平稳: 平稳/ / ⾮平稳 ;( 研究平稳情形) ) 7. 服务台( ( 员) ) 为顾客服务的顺序:

1. 先到先服务( ( FCFS);

2. 后到先服务( ( LCFS);

3. 随机服务;

4. 优先服务;

8. 到达间隔和服务时间典型分布

1. 泊松分布 M ；

2. 负指数分布 M ；

3. k k 阶爱尔朗分布 E E k k ；

4. 确定型分布 D D ；

5. ⼀般服务时间分布 G G ；

9. 排队模型⽰例

—— M/M/1 ， M/D/1 ， M/ Ek /1 ；

—— M/M/c， M/M/c/∞ /m ，

—— M/M/c/N/∞

对于M ／M ／1 模型有如下公式

µ: 单位时间服务的顾客数，平均( 期望) 服务率；

大庆油田设计院λ: 单位时间前来的顾客数。

Ls ：队长，系统中的顾客数（n）期望值

Lq：排队长，系统中排队等待服务的顾客数; 期望值记为Lq

Ws：逗留时间:—— 指⼀个顾客在系统中的全部停留时间为期望值，记为 Ws

Wq: 等待时间: —— 指⼀个顾客在系统中的排队等待时间为期望值，记为 Wq

Ws=Wq + E[ 服务时间]

s : 服务台数⽬

服务强度：ρ = λ/sµ

M/M/1 模型

某医院急诊室同时只能诊治⼀个病⼈，诊治时间服从指数分布，每个病⼈平均需要 15 分钟。病⼈按泊松分布到达，平均每⼩时到达3 3⼈。试对此排队队系统进⾏分析。

解：对此排队队系统分析如下：学分制管理系统

程序:

% =================================================================需要改的地⽅

s=1; %服务台个数云颠簸

mu=4; %单个服务台单个时间内能服务的个数

lambda=3; %单位时间到达的顾客数

% =================================================================需要改的地⽅

ro=lambda/mu;

ros=ro/s;

sum1=0;

for i=0:(s-1)

sum1=sum1+ro.^i/factorial(i);

end

sum2=ro.^s/factorial(s)/(1-ros);

p0=1/(sum1+sum2);

p=ro.^s.*p0/factorial(s)/(1-ros);

Lq=p.*ros/(1-ros);

L=Lq+ro;

W=L/lambda;

Wq=Lq/lambda;

fprintf('排队等待的平均⼈数为%5.2f⼈\n',Lq)

fprintf('系统内的平均⼈数为%5.2f⼈\n',L)

fprintf('平均逗留时间为%5.2f分钟\n',W*60)

fprintf('平均等待时间为%5.2f分种\n',Wq*60)

结果:

排队等待的平均⼈数为 2.25⼈

系统内的平均⼈数为 3.00⼈

平均逗留时间为60.00分钟

平均等待时间为45.00分种

M/M/S 模型

此模型与 M/M/1 模型不同之处在于有S 个服务台，各服务台的⼯作相互独⽴，服务率相等，如果顾客到达时，S 个服务台都忙着，则排成⼀队等待，先到先服务的单队模型.

对于例⼀增加⼀个服务台就有如下结果：

排队等待的平均⼈数为 0.12⼈

系统内的平均⼈数为 0.87⼈

平均逗留时间为17.45分钟

平均等待时间为 2.45分种

很明显各个结果都有很⼤的优化。

例三

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