“无理数”的由来
公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊
人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现
使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竞遭到沉舟身亡的惩处。
毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙
”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的
设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽。 不要闭上眼睛不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直
被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学
家开普勒称之为“不可名状”的数。
然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位
为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来．
对数简史
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史
上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）男爵。
在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门
学科。可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。
当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。在纳皮尔那个
时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出 对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的。
那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积
，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。让我们来看看下面这个例子：
0、1、2、3、4 、5 、6 、7、8、9、10、11、12、13、14、……
李冬民1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂。如果我们要计
算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现。
比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：
64×256＝16384。
纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了。回忆一下，我
们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗：计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了。这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？
经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公
布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点。
所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣。伟大的导师恩格
斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749-1827）曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长黑箱方法
了许多倍”。
奥巴马复旦大学演讲数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用，有些重要的数
学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用.我们刚学过的函数就是这样的要概念．
在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域．纵览宇宙，运算
天体，探索热的传导，揭示电磁秘密，这些都和函数概念息息相关．正是在这些实践过程中，人们对函数的概念不断深化．
回顾一下函数概念的发展史，对于刚接触到函数的初中同学来说，虽然不可能有较深理解，但
无疑对加深理解课堂知识、激发学习兴趣将是有益的．
最早提出函数（function）概念的，是１７世纪德国数学家莱布尼茨．最初莱布尼茨用“函数
”一词表示幂，如ｘ，ｘ2，ｘ3都叫函数．以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标．
１７１８年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个
常数结合而成的数量．”意思是凡变量ｘ和常量构成的式子都叫做ｘ的函数．贝努所强调的是函数要用公式来表示．
后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上，只要一些变量变化，另一些变
量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准．１７５５年，瑞士数学家欧拉把函数定义为“如果某些变量：“以某一种方式依赖于另一些变量．即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数．”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了．由于函数不一定要用式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数．他认为：“函数是随意画出的一条曲线。”
当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，，有的数学家甚至抱怀疑态度．他们
把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数’．
１８２１年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一
定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数，在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。：．
１８３４年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“ｘ的函数是这样的一个数，
它对于每一个ｘ都有确定的值值“并且随着ｘ一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的“，这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系以求出每一个ｘ的对应值．１８３７年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立ｘ与ｙ之间的对应关系是无关紧要的，所以他
的定义是：“如果对于ｘ的每一个值，ｙ总有一个完全确定的值与之对应，则ｙ是ｘ的函数．”这个定义抓住了概念的本质属性，变量ｙ称为ｘ的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的ｙ值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式．这个定义比前面的定义带有普偏性，为理论研究和实际应用提供了方便．因此，这个定普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便．因此，义曾被比较长期的使用着．
自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中
课本里用的了中文数学书上使用的“函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（１８９５年）一书时，把”funcion” 译成一函数”的中国古代“函”字与“含”字通用
，都有着“包含”的意思，李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数．”中国古代用天、
地、人、物４个字来表示４个不同的未知数或变量．这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量ｘ，则该式子叫做ｘ的函数．”所以“函数”是指公式里含有变量的意思．
我们可以预计到，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及
其相邻学科的发展．
坐标系的由来
传说中有这么一个故事:
有一天，笛卡尔（１５９6—１６５０，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题。几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩．他就拼命琢磨，通过什么样的办法，才能把“点”和“数”联系起来．突然，他看见屋顶角上的一只
蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝．蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗．他想，可以把蜘蛛看做一个点，“它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？“他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如３、２、ｌ，也可以用空间中的一个点Ｐ来表示它们（如图１）．同样，用一组数（a, ｂ）可以表示平面上的
一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示（如图２）．于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系．
无论这个传说的可靠性如何，有一点是可以肯定的，就是笛卡尔是个勤于思考的人．这个有趣的传说，就象瓦特看到蒸汽冲起开水壶盖发明了蒸汽机一样，说明笛卡尔在创建直角坐标系的过程中，很可能是受到周围一些事物的启发，触发了灵感．
直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁．它使几何概念得以用代数的方法来描述
，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将先进的代数方法应用于几何学的研究．
笛卡尔在创建直角坐标系的基础上，创造了用代数方法来研究几何图形的数学分支——解析几何．他的设想是：只要把几何图形看成是动点的运动轨迹，就可以把几何图形看成是由具有某种共同特性的点组成的．比如，我们把圆看成是一个动点对定点Ｏ作等距离运动的轨迹，也就可以把圆看作是由无数到定点Ｏ的距离相等的点组成的．我们把点看作是组成图形的基本元素，把数看成是组成方程的基本元素，只要把点和数挂上钩，也就可以把几何和代数挂上钩．把图形看成点的运动轨迹思想上，改变了传统的几何方法．笛卡尔根据自己的这个想法，在《几何学》中，最早为运动着的点建立坐标，开创了几何和代数挂钩的解析几何．在解析几何中，动点的坐标就成了变数，这是数学第一次引进变数．
时尚七太恩格斯高度评价笛卡尔的工作，他说：“数学中的转折点这个想法很重要它从指导是笛卡尔的
变数．有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学．”
坐标方法在日常生活中用得很多．例如象棋、国际象棋中棋子的定位；电影院、剧院、体育馆
的看台、火车车厢的座位及高层建筑的房间编号等都用到坐标的概念．
数学史上的三次危机
无理数的发现──第一次数学危机
大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自
然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！
无穷小是零吗？──第二次数学危机
18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论
的可靠性是毫不怀疑的。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛
头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量
与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续
──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。
18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：
没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。
直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。
悖论的产生---第三次数学危机
数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决
到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术
的基本法则》第２卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，
它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。
承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽
胡筱龙管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
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