笛卡尔(Descartes
)乘积又叫直积
。假设集合A={a,b},集合B={0,1,2},则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有,如果A表示某学校学生的集合,B表示该学校所有课程的集合,则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。 在日常生活中,有许多事物是成对出现的,而且这种成对出现的事物,具有一定的顺序。例如,上,下;左,右;3〈4;张华
高于李明
;中国
地处亚洲;平面上点的坐标等。一般地说,两个具有固定次序的客体组成一个序偶,它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x,y〉。上述各例可分别表示为〈上,下〉;〈左,右〉;〈3,4〉;〈张华,李明〉;〈中国,亚洲〉;〈a,b〉等。 序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a,b}={b,a},但对序偶〈a,b〉≠〈b,a〉。
设x,y为任意对象,称集合{{x},{x,y}}为二元有序组,或序偶(ordered pairs),简记为<x,y> 。称x为<x,y>的第一分量,称y为第二分量。
定义
3-4.1 对任意序偶<a,b> , <c, d > ,<a,b> = <c, d > 当且仅当a=c且b = d 。
递归定义n元序组 <a1,… , an>
<a1,a2> ={{a1},{a1 , a2}}
<a1 , a2 , a3 > = { {a1},{a1 , a2},{a1 , a2 , a3}}
= < <a1 , a2 > , a3 >
<a1,…我的离婚计算器在线an> = <<a1,…an-1>, an>
两个n元序组相等
< a1,…an >= < b1,…bn >Û(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn)
定义3-4.2 对任意集合 A1,A2 , …,An,
(1)A1×A2,称为集合A1,A2的笛卡尔积(Cartesian product),定义为
A1 ×A2={x | $u $v(x = <u,v>∧u ÎA1∧vÎA2)}={<u,v> | u ÎA1∧vÎA2} 唧唧复唧唧
(2)递归地定义 A1 × A2× … × An
A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1)×An
例题1 若A={α,β},B={1,2,3},求A×B,A×A,B×B以及(A×B)Ç(B×A)。
解 A×B={〈α,1〉,〈α,2〉,〈α,3〉,〈β,1〉,〈β,2〉,<β,3〉}
B×A={〈1,α〉,〈1,β〉,〈2,α〉,〈2,β〉,〈3,α〉,〈3,β〉}
A×A={〈α,α〉,〈α,β〉,〈β,α〉,〈β,含气量β〉}
B×B={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈2,3〉,〈3,1〉,〈3,2〉,〈3,3〉}
(A×B)Ç(B×A)=Æ
由例题1可以看到(A×B)Ç(B×A)=Æ
我们约定若A=Æ或B=Æ,则A×B=Æ。
由笛卡尔定义可知:
(A×B)×C={〈〈a,b〉,c〉|(〈a,b〉∈A×B)∧(c∈C)}
={〈a,b,c〉|(a∈A)∧(b∈B)∧(c∈C)}
A×(B×内经讲义C)={〈a,〈b,c〉〉|(a∈A)∧(〈b,c〉∈B×C)}
由于〈a,〈b,c〉〉不是三元组,所以
(A×B)×C ≠A×(B×C)
定理3-4.1 设A, B, C为任意集合,*表示 È,Ç或 – 运算,那么有如下结论:
笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。即:
A×(B*C)=(A×B)*(A×C)
笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。即:
(B*C) ×A=(B×A)*(C×A)
¤ 当*表示 È时,结论(1)的证明思路:(讨论叙述法)
先证明A×(B È C)Í(A×B) È (A×C) 从<x,y>∈A×(BÈC)出发,推出<x,y>∈(A ×B) È (A×C) 再证明(A×B) È (A×C) Í A×(B È C)
从<x,y>∈(A×B) È (A×C)出发,推出<x,y>∈A×(BÈC)
当*表示 È时,结论(2)的证明思路:(谓词演算法) 见P-103页。¤
定理3-4.2 设A, B, C为任意集合,若C ≠ F,那么有如下结论:
AÍBÛ(A×C ÍB×C) Û (C×AÍC×B) ¤
定理前半部分证明思路 :(谓词演算法)
先证明AÍB Þ (A×CÍB×C)
以AÍB 为条件,从<x,y>∈A×C出发,推出<x,y>∈B×C
得出(A×CÍB×C)结论。
再证明(A×C ÍB×C) Þ AÍB
以C≠F为条件,从x∈A出发,对于y∈C,利用Þ附加式,推出x∈B
得出(AÍB)结论。 见P-103页。 ¤
定理
3-4.3 设A, B, C, D为任意四个非空集合,那么有如下结论:
A×B Í C×D的充分必要条件是AÍ C,BÍ D
¤证明思路:(谓词演算法) 给汶川小朋友的一封信
先证明充分性: A×B Í C×D Þ AÍ C,BÍ D
对于任意的x∈A、y∈B,从<x,y>∈A×B出发,利用条件A×BÍ C×D, <x,y>∈C×D,推出x∈C, y∈D。
再证明必要性: AÍ C,BÍ D ÞA×BÍ C×D
对于任意的x∈A、y∈B,从<x,y>∈A×B出发,推出<x,y>∈C×D。
直积
笛卡尔(Cartesian Product)乘积又叫直积。设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新的元素,他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积,记为A×王惠五B,即A×B={(x,y)|x∈A且y∈B}。