——蒋小敏2012-05-07
在最近的学习过程中，经常碰到梯度、散度、旋度等数学概念。惭愧的是以前学的不够认真，到了现在，忘记的也差不多了，趁这个机会把这些知识捡回来，做一个总结，以后可以作为一个参考，是为记。
本文按知识点进行小节划分，提到的问题都是我自己经常忘记和搞混的知识点。先定义一下本文的一些符号表达：
矢量：大写黑体斜体字母A ，大写斜体字母加表示矢量的符号 标量：小写斜体字母u 单位矢量：小写上加倒勾e x
一、矢量
（1）矢量的定义
若一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知, 这个矢量就确定了。例如在直角坐标系中, 矢量A 的三个分量模值分别是Ax ，Ay ，Az ，则矢量A ，
z y x A z A y A x
A ˆˆˆ++=
（2）矢量的模
222z y x A A A A ++=
（3）矢量的乘积
标量积，Dot production 点乘，这是一个标量
AB a B A B A cos =⋅
2
222A
A A A A A
B A B A B A B A z
y
x
z z y y x x =++=⋅++=⋅
A x
e
矢量积，Cross production 叉乘，这是一个矢量
AB a B A n
B A sin ˆ=⨯ 其中 为A , B 所在平面的右手法向。
z
y x z y x B B B A A A z
（1）通量的定义
若矢量场A 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S ，则
⎰⋅=ψS
菊粉酶d S
A
为矢量A 沿有向曲面S 的通量。
（2）通量的物理含义
表示穿入和穿出闭合面S 的矢量通量的代数和。
若0>ψ穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源；
若0<ψ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负电荷就是接受电力线的负源；
若0=ψ，闭合面无源。
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
三、散度
（1）散度的定义
当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量A 通过该闭合面S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A 在该点的散度，以div A 表示，即
n ˆ
A S A A ∙∇=⋅=⎰→V
S
V Δd lim
div 0
Δ
（2）物理意义
<1>矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； <2>矢量场的散度是一个标量；
<3>矢量场的散度是空间坐标的函数。 （3）散度的多种表达形式
直角坐标系中的散度表示
z
A y A x A z碎片拼接
y x ∂∂+
∂∂+∂∂=
A div 哈密顿算符∇表示
A ∙∇=A div
明基p50
其中∇，光学学报
z z
y y x x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=
∇ 拉普拉斯算符∇2，
2
22222z
y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇
四、旋度
（1）旋度的定义
中国校外教育网为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的面积ΔS 趋近于零, 取极限
这个极限的意义就是环量的面密度, 或称环量强度。 由于面元是有方向的, 它与封闭曲线l 的绕行方向
成右手螺旋关系, 因此在给定点处, 上述极限值对于不同的面元是不同的。为此，引入旋度(curl 或rotation)。
=
（2）物理意义
0lim l S A dl
S
∆→⋅∆⎰
max
[]ˆlim l S A dl Curl A n S ∆→⋅=∆⎰
ˆˆˆx y z x y z
A x y z
A A A
∂∂∂
∇⨯=
∂∂∂
<1>矢量A 的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A 在给定点处的最大环量 面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时, 该面元矢 量的方向 。
<2>它描述A 在该点处的旋涡源强度。
<3>若某区域中各点curl A=0, 称A 为无旋场或保守场。
一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个标量函数；旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系。 五、梯度
（1）方向导数
γφβφαφφφφφcos cos cos z y x l z z l y y l x x l ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂
梯度，
ˆˆˆgrad x
y z x y z
φφφ
φφ∂∂∂=∇=++∂∂∂
梯度和方向导数的关系，
)ˆ,cos(||ˆl l l
φφφφ
∇∇=⋅∇=∂∂ （2）物理意义
<1>标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数
<2>标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方 向，其幅度表示标量场的最大增加率 六、传热学PDE 方程
(1)含内热源的各向同性的导热微分方程
V q t t
c +∇-∙∇=∂∂)(λτ
ρ (2)流体的连续性方程
()0D div V D ρ
密云一中ρτ
+= 此式由质量守恒得到。其中
D u v w D x y z ττ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂
（3）纳维斯托克斯方程——三维、常物性、不可压缩流体
2DV F p V D ρητ
=-∇+∇
此式由动量守恒得到。
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