CFD建⽴在流体⼒学基本控制⽅程：连续性⽅程、动量⽅程、能量⽅程的基础上。这些⽅程式任何流动都必须遵守的3个基本物理学原理。这三个⽅程是这些原理的数学描述：
2. ⽜顿第⼆定律。
3. 能量守恒定律。
全部CFD都是基于这些⽅程的，在开展研究之前必须熟悉这些⽅程。如果不能从物理上理解每⼀个⽅程的意义，⼜怎么指望对数值求解这些⽅程所得到的结果做出正确的解读呢？接下来就来推导和讨论这些⽅程。
⼀、连续性⽅程
⽤⼀个微六⾯体元控制体建⽴微分形式的连续性⽅程。
设在流场中取⼀固定不动的微平⾏六⾯体（控制体），在直⾓坐标系oxyz中，六⾯体的边长取为dx，dy，dz。
先看x轴⽅向的流动，流体从ABCD⾯流⼊六⾯体，从EFGH⾯流出。
在x轴⽅向流出与流⼊质量之差
⽤同样的⽅法，在y轴和z轴⽅向上的质量之差为：
这样，在dt时间内通过六⾯体的全部六个⾯净流出的质量为：
在dt时间内，六⾯体的质量减少了
根据质量守恒定律，净流出六⾯体的质量必等于六⾯体内所减少的质量，则：
这就是直⾓坐标系中流体运动的微分形式的连续性⽅程
利⽤散度公式：
得到：
有的⽂献中⽤▽表⽰散度，因此上⾯式⼦⼜可表⽰为：
上⾯是连续性⽅程的偏微分⽅程形式，它是基于空间位置固定的⽆穷⼩微团模型。
⼆、动量守恒⽅程
动量守恒定律是任何流动系统都必须满⾜的定律。
甲型血友病
对上图⼀个运动流体微团进⾏分析，就是作⽤在微团上⼒的总和等于微团的质量乘以微团的加速度。这是⼀个向量关系式，我们将其沿
x，y，z轴分解成三个标量的关系式。仅考虑其中x⽅向分量。
流体微团在x⽅向上受到两种⼒的作⽤：体积⼒和表⾯⼒。
体积⼒：直接作⽤在流体微团整个体积微团上的⼒，⽽且作⽤是超距离的，⽐如重⼒、电场⼒、磁场⼒
表⾯⼒：直接作⽤在流体微团的表⾯。由两种原因引起：1.由包在流体微团周围的流体所施加的，作⽤于微团表⾯的压⼒分布；2.由于外部流体推拉微团⽽产⽣的，以摩擦的⽅式作⽤于表⾯的切应⼒和正应⼒分布。
将作⽤在单位质量流体微团上的体积⼒记作f，其x⽅向分量为fx。流体微团的体积为dxdydz，所以：
开平方机器
将以上两式相加得到x⽅向总的⼒F，得到：
接下来考虑的右边，因为运动的流体微团其质量是固定不变的：
另外，流体微团的加速度就是速度变化的时间变化率，所以加速度得x⽅向分量，记作ax，直接就等于u的时间变化率，根据物质导数 则粘性流x⽅向的动量⽅程为：
同时，根据数学代换可知：
代⼊可得：防水混凝土施工技术
1982年诺贝尔医学奖
这就是纳维-斯托克斯⽅程的守恒形式（Navier-Stokes⽅程）
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注：
物质导数D/Dt，在物理上时跟踪⼀个运动的流体微团的时间变化率，第⼀项是当地导数，它在物理上是固定点处的时间变化率；后⼀项是迁移导数，在物理上表⽰由于流体微团从流场中的⼀点运动到另⼀点，流场的空间不均匀⽽引起的时间变化率。物质导数可⽤于任何流场变量，如ρ、T等
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三、能量⽅程
能量守恒定律是包含热交换系统必须满⾜的基本定律。该定律可表述为
微元体中能量的变化率=进⼊微元体的净热流量+体积⼒与表⾯⼒对微元体所做的功率
或：A=B+C
先计算C，作⽤在⼀个运动物体上的⼒，对物体做功的功率等于这个⼒乘以速度在运动⽅向上的分量，所以作⽤于速度V的流体微团上的体积⼒，做功的功率为：
表⾯⼒做功的功率为（仅考虑x⽅向上的表⾯⼒）：
同样可以类推出y、z⽅向上的表⾯⼒。则C等于
接下来看B，即进⼊微团内的总热流量。有来⾃体积加热，如吸收或释放的辐射热；由温度梯度导致的跨过表⾯的热输送，即热传导。定义q为单位质量的体积加热率，可得到：
将两项加和：
根据傅⾥叶热传导定律，热传导产⽣的热流与当地的温度梯度成正⽐
k为热导率
接下来研究A，运动流体微团的能量，有两个来源：
1. 由于分⼦随机运动产⽣的（单位质量）内能e
2. 流体微团平动时具有的动能，单位质量的动能为V^2/2
因此，单位质量的总能量变化的时间变化率由物质导数给出：
则能量⽅程为：
将⽅程改写只⽤e的形式：
线速度
该⽅程左边只包含内能的物质导数，动能的物质导数和右边的体积⼒已经去掉。
四、⼩结
到⽬前为⽌，已经推导出了全部的流体控制⽅程，熟悉并理解它们的物理意义是绝对必要的。这也是我亲⾃打出这篇⽂章的⽬的所在。
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