学校：内蒙古工业大学 专业：力 学 姓名：宗宇显
首先，我们明白普朗特边界层方程就是对二维定常纳维--斯托克斯方程在一定情况下的简化。
Ⅰ 二维定常纳维--斯托克斯方程
连续性方程
22221v ()u u p u u u X v x y x x y ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ X 方向上的动量方程 （1.1） 2222v v 1v v v ()p u Y v x y y x y虹膜定位
ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ Y 方向上的动量方程 Ⅱ 普朗特边界层理论相关知识
2.1概念：定常绕流中流体粘性只在贴近物面极薄的一层内主宰流体运动，称这一层为边界层；边界层的流动可近似为无粘的理想流动。 2.2普朗特理论的基本思想：在大Re 数（一般在5×510～3×610）绕流中存在两个流动区域，即层流和紊流。
2.3边界层：流体流经固体壁面时，在固体壁面形成速度梯度较大的流体薄层。 2.4边界层厚度：以u =0.99U e 位置和壁面间的距离定义为边界层得厚度。 故考虑到不可压缩流体作平面层流，则质量力对流动产生的影响较小，所以由二维定常纳维--斯托克斯方程可得到去质量力的下列式子：医疗保险制度
连续性方程 22221v ()u u p u u u v x y x x y
ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ X 方向上的动量方程 （1.2） v 0u x y
∂∂+=∂∂v 0u x y
∂∂+=∂∂
2222v v 1v v v ()p u v x y y x y
ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ Y 方向上的动量方程 Ⅲ 边界层中个物理量的数量级的确定 3.1边界层的厚度δ（x ）量纲分析 根据实验条件分析，边界层厚度δ（x ）可能与流体微团的所在位置x ，流体速度U ，粘性系数μ，密度ρ有关。设δ=k ·x m U n μk ρl ，根据量纲分析法可求的：m=
12，n=-12，k=12，l=-12
；
即：δ（x ）==···(1) 又因为Re x Ux Ux v ρμ
=
= 则关于δ的关系式(1)写成无量纲的形式如下：
~
x δ
=
··(2) 取物体的长度L 取代上式中的x 值，则公式(2)变为~
L
δ
··(3) （符号“~”表示数量级相同）其中Re L 称为绕流场的雷诺数。
由普朗特边界层理论相关知识2.2我们知道此次实验雷诺数在5×510～3×610之间，所以从公式（3）我们可以得出结论：对长度相同的物体，边界层的厚度δ是很小的，即相对于长度L 的数量级是很小的。 3.2几何尺寸的数量级确定
由边界层的厚度δ（x ）量纲分析我们可以得知：δ（x ）与物体在x 方向上的长度l 相比为小量，假设物体在x 方向上的数量级为l （0≤x ≤l ），边界层厚度δ在y 方向上的数量级为ε（0≤y ≤ε），则ε<<l ，
所以用同数量级来表达上述关系则有：
x ~l ，δ~ε，y ~ε 3.3速度数量级的确定
由普朗特边界层理论相关知识2.4我们知道流体速度u 在x 方向上的范围为：0≤u ＜U ，所以可以确定u 与U 为同数量级，则有u ~U 又由连续性方程
v 0u x y
∂∂+=∂∂，可推得v 的数量级为v ~εU/l ，其它速度导数的数量级可以通过3.2几何尺寸数量级的确定来推导出，具体结果如下：
2222222222
322v v 1~,~,~,~.,~,~,v v 1~~.u U u U U U U u U u U x l y x l y l l x l y U U U
x l y l l
εεεεεεεε∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂，
由3.1边界层的厚度δ（x ）量纲分析中公式（3）我们可以推得Re 数的数量级为Re ~
宝宝照片征集
2
2
l ε
3.4对方程组（1.2）的各项进行量级分析比较 3.
4.1 v
=0y
u x ∂∂+∂∂
U
l
1.U l εε
U l U l
在上述方程中两项的量级相同，不可偏废。
继承法的基本原则
3.4.2 2222
1v ()u u p u u
u v x y x x y
ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ U
U
l
.U U l εε Re Ul （2U l 2U ε ） 2U l 2U l 22Ul l ε（2U l 2U
ε
）
22
3U l ε 2
U l
（因为Re=Ul
v
，所以v =Re Ul ）
∵22
222
23
33.U U U U l l l l l
ε<<<= ∴
22
3
U l ε为无穷小量，可以略去。
∴上式方程中右边的粘性项与左边的惯性项的数量级均为2
U l
。这同时也说明粘
医院阻尼器性力与惯性力在x 方向上同等重要，同样不可偏废。
3.4.3 2222
v v 1v v
v ()y p u v x y x y ρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ 2
U
U l ε
.
U U
l l
ε
Re Ul (3U
l ε U l ε)
2
2
U l ε
2
2
U l ε
22
Ul
l ε(
3
U
l
ε U l ε)
33
U
l
ε
2
2
U l
ε
∵上式方程中右边的粘性项和左边的惯性项都包含无穷小量ε
∴上式方程中的左右端的力相对于方程3.4.2中的相应力均可作为小量忽略不计，而压力项为了与其它的力保持平衡，也可作为小量处理，即可得：
0p
y
∂=∂ Ⅳ Navier-Stokes 方程的简化—普朗特边界层微分方程
通过对上述各项的量级分析和比较，略去无穷小量之后，方程组（1.2）可简化为以下样式：
22
1v u u p u u v x y x y ρ∂∂∂∂+=-+∂∂∂∂
v =0y u x ∂∂+∂∂ 0p y ∂=∂ 边界条件为：
（1） y =0时，u=v=0 ； （2） y =δ时，u=U ，v=0。 由
0p
y
∂=∂，我们可以得出：在边界层内由边界层表面到边界层边缘处，其压力值全部相同，即边界层内的压力只p 只是x 的函数。由于边界层外部区域为势流区，所以边界层边缘上的压力值p 和速度U(x)满足伯努利方程： P （x ）+2()
2
U x ρ=const
则dp dU
中国生物工程杂志U dx dx
ρ=-，其中p ，U 分别为属于P （x ），U （x ），且均是已知值。所以把
dp
dx 代替方程组（1.3）中的p x ∂∂则可得到以下式子：
22
1v u u dp u u v x y dx y ρ∂∂∂+=-+∂∂∂
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