第18卷第6期2019年12月
广州大学学报（自然科学版）
Journal of Guangzhou University （Natural Science Edition ）
Vol．18No．6Dec．2019
基金项目：国家自然科学基金资助项目（11371349，
11688101）作者简介：黄飞敏（1971—），男，研究员，博士生导师．E-
mail ：fhuang@amt．ac．cn 文章编号：1671-4229（2019）06-
黄飞敏
（中国科学院数学与系统科学研究院，北京100190）
摘
ncc
要：文章回顾了Huang 等关于波尔兹曼方程到欧拉方程一般黎曼解的流体动力学极限．黎曼解由激波、稀
疏波和接触间断波的任意线性组合复合而成．通过引进两类双曲波并结合尺度变换及精细的能量估计方法，成功证明了以上流体动力学极限并得到了收敛速率．
关键词：流体动力学极限；波尔兹曼方程；欧拉方程；黎曼解中图分类号：O 241．82
文献标志码：A
0引言
f t +ξ· x f =
1
ε
Q （f ，f ）（1）其中，f （t ，x ，ξ）表示粒子在位置x 和时间t 具有速 度ξ的分布，这里Knudsen 数ε＞0与粒子的自由平均程成正比．
众所周知，波尔兹曼方程［1］
与宏观的流体力学方程，
如欧拉方程、纳维－斯托克斯方程紧密相关．早在麦克斯韦尔和波尔兹曼时代，人们就意识到了这些联系．1912年希尔伯特提出了著名的希尔伯特展开，
Enskog 和Chapman 分别在1916年和1917年相互独立地提出了另外一种展开（后称之为Enskog-Chapman 展开）．根据Knudsen 数ε，希尔伯特展开和Enskog-Chapman 展开均得到主要近似为可压缩欧拉方程，之后的项为可压缩纳维－
屋顶上的绿宝石主题曲
斯托克斯方程．注意到以上只是形式展开，严格的数学证明一直未得到解决，部分原因是欧拉方程自身的适定性理论没有得到解决．事实上，波尔兹曼方程的流体动力学极限与著名的希尔伯特第六问题密切相关．
本文简要回顾了关于波尔兹曼方程流体动力
学极限的研究工作．当欧拉方程具有光滑解时，波尔兹曼方程的流体动力学极限已有比较丰富的工
作，见Caflisch ［2］，Lachowicz 等［3］，Nishida ［4］及
Ukai 等［5］．但即使初值充分光滑，欧拉方程的解通常会在有限时间内产生奇性，比如激波和接触间断波
微弱信号检测
［6］
，因此，在奇异解情形下研究波尔兹曼
方程的流体动力学极限是有意义的．黎曼解是研究一般奇异解的基石，最早由黎曼在1860年开始研究．黎曼当时研究了一维等熵气体动力学方程组，初值由2片常数组成，由原点分开．这样的初值后称为黎曼初值，对应的解称为黎曼解．它不仅能捕获解的局部和整体行为，并且完全反映了非线性项的影响．对于欧拉方程，黎曼解包含三类基本波，即激波、
稀疏波和接触间断波．所谓的黎曼解由这三类基本波线性叠加而成．注意到这三类基本波拥有完全不同的性质，即激波具有压缩性，稀疏波具有膨胀性，接触间断波具有扩散结构．对这些基本波的研究完全依赖于波的基本性质，因此，
在由这些具有不同性质的基本波组成黎曼解的情形下，从数学上严格验证波尔兹曼方程的流体动力学极限是一个具有很大挑战性的难题．
根据这些基本波的特有性质，单个基本波的流体动力学极限已被严格证明了，如激波［7］
、稀后窗惊魂电影
疏波
［8］
单乙醇胺和接触间断波
［9］
腺苷蛋氨酸．由于以前研究这些基本
波的方法严重依赖于波的特有性质且互不兼容，因此，波的叠加情形仍然是一个具有挑战性的公开问题．在文献［
10－11］中，笔者分别证明了稀疏
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