Source: David Schenck→
1. 引⾔
在单变量回归中，⼀个平稳的时间序列 经常被模型化为 AR 过程： 当我们分析多个时间序列时，⼀个对 AR 模型⾃然的拓展就是 VAR模型， 在这个模型中⼀组向量⾥的每个时间序列被模型化为决定于⾃⼰的滞后项以及这组向量⾥所有其他变量的滞后项。两阶 VAR 模型如下式： 经济学家通常使⽤这种形式的模型分析宏观数据、做出因果推断并提供政策建议。
在这篇推⽂中，我会⽤美国失业率、通胀率以及名义利率估计⼀个三变量 VAR 模型。这个 VAR 模型类似于宏观经济中做货币政策分析的模型。这篇⽂章的主要关注点在于该模型的基本估计和估计结果评估，数据和 do ⽂件在⽂末提供。背景知识和理论细节可以在中获得。 2. 数据和估计
当使⽤ VAR 模型进⾏估计时，我们需要做两个决定。第⼀个是需要选择将那些变量放⼊ VAR 模型中，这个决定⼀般取决于研究问题和相关⽂献。第⼆个决定是需要选择滞后阶数。决定了滞后阶数后，就可以开始估计。得到估计结果后，需要对结果进⾏评估分析看其是否符合模型设定。本⽂使⽤ 1995-2005 年间美国失业率、CPI和短期名义利率的季度观测值对模型进⾏估计，数据来源于。在 stata 数据集中，inflation为CPI，unrate 为失业率，ffr则表⽰利率。因此，本⽂估计的 VAR 模型为：
是由截距项组成的向量， 到 均为 的系数矩阵。包含这些变量的 VAR 模型或相近的模型变体经常出现在货币政策分析中。下⼀步是决定⼀个合理的滞后阶数，我使⽤ varsoc 命令执⾏滞后结束选择测试。
. varsoc inflation unrate ffr, maxlag(8)
Selection-order criteria
Sample: 41 - 236 Number of obs = 196
+---------------------------------------------------------------------------+
爱过分
|lag | LL LR df p FPE AIC HQIC SBIC |
|----+----------------------------------------------------------------------|
| 0 | -1242.78 66.5778 12.712 12.7323 12.7622 |
| 1 | -433.701 1618.2 9 0.000 .018956 4.54796 4.62922 4.74867 |
| 2 | -366.662 134.08 9 0.000 .010485 3.95574 4.09793 4.30696* |
| 3 | -351.034 31.257 9 0.000 .009801 3.8881 4.09123 4.38985 |
LIBOR| 4 | -337.734 26.6 9 0.002 .009383 3.84422 4.1083 4.4965 |
| 5 | -319.353 36.763 9 0.000 .008531 3.7485 4.07351 4.5513 |
| 6 | -296.967 44.77* 9 0.000 .007447* 3.61191* 3.99787* 4.56524 |
| 7 | -292.066 9.8034 9 0.367 .007773 3.65373 4.10063 4.75759 |
| 8 | -286.45 11.232 9 0.260 .008057 3.68826 4.1961 4.94265 |
+---------------------------------------------------------------------------+
Endogenous: inflation unrate ffr Exogenous: _cons
varsoc 展⽰了之后滞后阶数选择检验的主要结果，检验的细节可以通过 help varsoc 得到。似然⽐和 AIC 都推荐选择六阶滞后，因此本⽂选择六阶滞后。
y t y =t α+0αy +1t −1αy +2t −2⋯+αy +k t −k ϵt
y =t α+0αy +1t −1αx +2t −1ϵ1t
x =t β+0βy +1t −1βx +2t −1ϵ2t
a 0A 1A K 3×3
有了变量和滞后阶数，需要估计系数矩阵和误差项的协⽅差矩阵。系数估计可以通过对 VAR 模型中的每个等式做 OLS 回归得到，误差项的协⽅差矩阵则需要根据样本残差的协⽅差矩阵进⾏估计。var命令可以同时实现这两个矩阵的估计，其结果中系数矩阵会默认给出，误差项的协⽅差矩阵则可以 e(Sigma) 中到：
. var inflation unrate ffr, lags(1/6) dfk small
Vector autoregression
Sample: 39 - 236 Number of obs = 198
Log likelihood = -298.8751 AIC = 3.594698
FPE = .0073199 HQIC = 3.97786
Det(Sigma_ml) = .0041085 SBIC = 4.541321
Equation Parms RMSE R-sq F P > F
----------------------------------------------------------------
inflation 19 .430015 0.9773 427.7745 0.0000
unrate 19 .252309 0.9719 343.796 0.0000
ffr 19 .795236 0.9481 181.8093 0.0000
----------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------
| Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-
------------+----------------------------------------------------------------
inflation |
inflation |
L1. | 1.37357 .0741615 18.52 0.000 1.227227 1.519913
L2. | -.383699 .1172164 -3.27 0.001 -.6150029 -.1523952
L3. | .2219455 .1107262 2.00 0.047 .0034489 .440442
L4. | -.6102823 .1105383 -5.52 0.000 -.8284081 -.3921565
L5. | .6247347 .1158098 5.39 0.000 .3962065 .8532629
L6. | -.2352624 .0719141 -3.27 0.001 -.3771708 -.093354
|
unrate |
L1. | -.4638928 .1386526 -3.35 0.001 -.7374967 -.1902889
L2. | .6567903 .2370568 2.77 0.006 .1890049 1.124576
L3. | -.271786 .2472491 -1.10 0.273 -.759684 .2161119
L4. | -.4545188 .2473079 -1.84 0.068 -.9425328 .0334952
L5. | .6755548 .2387697 2.83 0.005 .2043893 1.14672
L6. | -.1905395 .136066 -1.40 0.163 -.4590393 .0779602
|
ffr |
L1. | .1135627 .0439648 2.58 0.011 .0268066 .2003187
L2. | -.1155366 .0607816 -1.90 0.059 -.2354774 .0044041
L3. | .0356931 .0628766 0.57 0.571 -.0883817 .1597678
L4. | -.0928074 .0620882 -1.49 0.137 -.2153263 .0297116
L5. | .0285487 .0605736 0.47 0.638 -.0909816 .1480789
L6. | .0309895 .0436299 0.71 0.478 -.0551055 .1170846
|
海滨墓园_cons | .3255765 .1730832 1.88 0.062 -.0159696 .6671226
-------------+----------------------------------------------------------------
unrate |
inflation |
L1. | .0903987 .0435139 2.08 0.039 .0045326 .1762649
L2. | -.1647856 .0687761 -2.40 0.018 -.3005019 -.0290693
L3. | .0502256 .064968 0.77 0.440 -.0779761 .1784273
焦亚硫酸钠
L4. | .0919702 .0648577 1.42 0.158 -.036014 .2199543
L5. | -.0091229 .0679508 -0.13 0.893 -.1432106 .1249648
L6. | -.0475726 .0421952 -1.13 0.261 -.1308366 .0356914
|
unrate |
L1. | 1.511349 .0813537 18.58 0.000 1.350814 1.671885
L2. | -.5591657 .1390918 -4.02 0.000 -.8336363 -.2846951
L3. | -.0744788 .1450721 -0.51 0.608 -.3607503 .2117927
L4. | -.1116169 .1451066 -0.77 0.443 -.3979565 .1747227
L5. | .3628351 .1400968 2.59 0.010 .0863813 .639289
L5. | .3628351 .1400968 2.59 0.010 .0863813 .639289
L6. | -.1895388 .079836 -2.37 0.019 -.3470796 -.031998
|
ffr |
L1. | -.022236 .0257961 -0.86 0.390 -.0731396 .0286677
L2. | .0623818 .0356633 1.75 0.082 -.0079928 .1327564
L3. | -.0355659 .0368925 -0.96 0.336 -.1083661 .0372343
L4. | .0184223 .0364299 0.51 0.614 -.0534651 .0903096
L5. | .0077111 .0355412 0.22 0.828 -.0624226 .0778449
L6. | -.0097089 .0255996 -0.38 0.705 -.0602247 .040807
|
_cons | .187617 .1015557 1.85 0.066 -.0127834 .3880173
-
------------+----------------------------------------------------------------
ffr |
inflation |
L1. | .1425755 .1371485 1.04 0.300 -.1280603 .4132114
L2. | .1461452 .2167708 0.67 0.501 -.2816098 .5739003
L3. | -.0988776 .2047683 -0.48 0.630 -.502948 .3051928
L4. | -.4035444 .2044208 -1.97 0.050 -.8069291 -.0001598
L5. | .5118482 .2141696 2.39 0.018 .0892262 .9344702
L6. | -.1468158 .1329922 -1.10 0.271 -.40925 .1156184
|
unrate |
L1. | -1.411603 .2564132 -5.51 0.000 -1.917585 -.9056216
L2. | 1.525265 .4383941 3.48 0.001 .660179 2.39035
L3. | -.6439154 .4572429 -1.41 0.161 -1.546195 .2583646
L4. | .8175053 .4573517 1.79 0.076 -.0849893 1.72
L5. | -.344484 .4415619 -0.78 0.436 -1.21582 .5268524
L6. | .0366413 .2516297 0.15 0.884 -.459901 .5331835
|
ffr |
L1. | 1.003236 .0813051 12.34 0.000 .8427961 1.163676
L2. | -.4497879 .1124048 -4.00 0.000 -.6715968 -.2279789
L3. | .4273715 .1162791 3.68 0.000 .1979173 .6568256
L4. | -.0775962 .114821 -0.68 0.500 -.3041731 .1489807
衣原体包涵体L5. | .259904 .1120201 2.32 0.021 .0388542 .4809538
L6. | -.2866806 .0806857 -3.55 0.000 -.445898 -.1274631
|
_cons | .2580589 .3200865 0.81 0.421 -.3735695 .8896873
------------------------------------------------------------------------------
. matlist e(Sigma)
| inflation unrate ffr
-------------+---------------------------------
inflation | .1849129
unrate | -.0064425 .0636598 ffr | .0788766 -.09169 .6324
var 命令的报告结果以矩阵形式报告，每个⽅程以其因变量的名字命名，因此会报告三个⽅程：通胀⽅程、失业率⽅程以及利率⽅程。e(Sigma) 中则保存 VAR 模型估计残差的协⽅差矩阵。注意各个⽅程的残差相关。
如你所见，估计系数表格⾮常长。即使不考虑常数项，⼀个有 个变量和 阶滞后的 VAR 模型中也会有 个系数。我们的 3 变量，6阶滞后的 VAR 则有将近 60 个系数，但是我们却仅有 198 个观测。 选项 dfk 和 small 将对默认情形下报告的⼤样本统计量进⾏⼩样本调整。虽然结果会报告系数、标准误、 统计量、统计量等，但是并不能给我们直观的信息含量，因此很多论⽂甚⾄都不会报告这些系数表格，但是他们会报告⼀些更有信息量的统计量。接下来的两部分将会介绍两个 VAR 结果分析中常⽤的统计⼿段：格兰杰因果检验和脉冲响应函数。
3. 评价 VAR 结果：格兰杰因果检验
如果给定 的滞后阶数，的滞后滞后项在以 为因变量的⽅程中联合统计显著，则称 是 的格兰杰原因 。例如，如果利率滞后项对失业率是联合显著的，则可以称利率是失业率的格兰杰原因。vargranger 命令可以进⾏格兰杰因果检验。
n k kn 2t p y t x t y t x t y t
. quietly var inflation unrate ffr, lags(1/6) dfk small
. vargranger
Granger causality Wald tests
+------------------------------------------------------------------------+
| Equation Excluded | F df df_r Prob > F |
|--------------------------------------+---------------------------------|
| inflation unrate | 3.5594 6 179 0.0024 |
| inflation ffr | 1.6612 6 179 0.1330 |
| inflation ALL | 4.6433 12 179 0.0000 |
|--------------------------------------+---------------------------------|
| unrate inflation | 2.0466 6 179 0.0618 |
| unrate ffr | 1.2751 6 179 0.2709 |
| unrate ALL | 3.3316 12 179 0.0002 |
天下钱塘|--------------------------------------+---------------------------------|
| ffr inflation | 3.6745 6 179 0.0018 |
| ffr unrate | 7.7692 6 179 0.0000 |
| ffr ALL | 5.1996 12 179 0.0000 |
+------------------------------------------------------------------------+
像之前⼀样，⽅程之间通过被解释变量进⾏区分。对于每个⽅程，vargranger 都可以先单独检验每个变量在 VAR 模型中的因果关系，然后检验所有变量整体的格兰杰因果关系。在对失业率⽅程进⾏的格兰杰因果检验中，如上表所⽰，“ffr excluded” 检验的原假设是所有利
p
率及其滞后项的系数在对失业率的预测中均为 0 ，备择假设是⾄少有⼀个不为 0 。 值为 0.27 并未落在 5% 显著性⽔平的拒绝域内，因此我们不能拒绝利率不会影响失业率的原假设，也就是说我们的数
据和模型不⽀持利率是失业率的格兰杰原因的假设。相反地，在利率⽅程中，通胀和失业率的滞后项都是统计显著的，因此可以说通胀和失业率是利率的格兰杰原因。
每个⽅程中“all excluded” ⾏都剔除了全部的滞后项，在⽅程中只留了⾃相关系数，这是⼀个对⽅程中其他所有滞后项的统计显著性的检验，它可以被当做是⼀个纯粹的⾃回归模型设定(原假设)和 VAR 模型设定(备择假设)之间的检验。
你可以通过对每个⽅程跑 OLS 回归然后使⽤ test 命令检验相应的原假设来得到与格兰杰因果检验相同的结果，其结果与 vargranger 命令得到的结果应该是匹配的：
. quietly regress unrate l(1/6).unrate l(1/6).ffr l(1/6).inflation
. test l1.inflation=l2.inflation=l3.inflation
> =l4.inflation=l5.inflation=l6.inflation=0
( 1) L.inflation - L2.inflation = 0
( 2) L.inflation - L3.inflation = 0
( 3) L.inflation - L4.inflation = 0
( 4) L.inflation - L5.inflation = 0
( 5) L.inflation - L6.inflation = 0
( 6) L.inflation = 0
F( 6, 179) = 2.05
Prob > F = 0.0618
. test l1.ffr=l2.ffr=l3.ffr=l4.ffr=l5.ffr=l6.ffr=0
( 1) L.ffr - L2.ffr = 0
( 2) L.ffr - L3.ffr = 0
( 3) L.ffr - L4.ffr = 0
( 4) L.ffr - L5.ffr = 0
( 5) L.ffr - L6.ffr = 0
( 6) L.ffr = 0
F( 6, 179) = 1.28
Prob > F = 0.2709
4. 评价 VAR 模型结果：脉冲响应分析
评价 VAR 模型结果的第⼆个统计⼿段是对系统施加⼀些外⽣冲击，然后看这些冲击对于内⽣变量的影响。但是需要记住系统的每个⽅程的冲击之间并不是相互独⽴的，因此就我们现有模型⽽⾔，当我们讨论⼀个对通胀的冲击时，其结果常常是模糊的，因为这个冲击也会同时影响该⽅程中利率和失业率及其滞后项。
. matlist e(Sigma)
| inflation unrate ffr
-------------+---------------------------------
inflation | .1849129
unrate | -.0064425 .0636598
ffr | .0788766 -.09169 .6324
解决这个问题的⼀个⽅法是假设存在⼀个结构性冲击向量 ，定义其其分量相互独⽴，并且这个冲击向量与原来的冲击之间存在如下关系：
如果我们定义误差项的协⽅差矩阵为 ，则矩阵 A 与 之间的关系为：
因为我们有从样本估计出的协⽅差矩阵 ，我们于是可以由以上等式构造出 ：很多 矩阵都满⾜⽅程 (1) 。⼀种可能的⽅法是假设 是⼀个下三⾓矩阵，则 即可以通过对 进⾏ Cholesky 分解得到。这种分解⽅法⾮常常见，因此使⽤ var 命令时可以直接指定使⽤ Cholesky 分解。
对矩阵 做出下三⾓的假设在 VAR 模型的变量的顺序做出了要求，因为不同的顺序将会得到不同的 。变量顺序的经济学含义是对任意⼀个⽅程，其因变量都会被顺序在其之前变量的冲击影响，⽽不会被顺序在其之后的变量影响。对于这篇推⽂，我会对我们所⽤变量的顺序做出如下的设定：通胀冲击可以同期影响所有三个变量；失业率冲击只会同期影响利率，但不会影响通胀；利率冲击顺序在最后，因此既不会同期影响失业率，也不会同期影响通胀。
有了 ，我们就可以制造⽅程间相互独⽴的冲击并且在 VAR 模型中观察这些冲击对变量施加的影响了。
我们可以通过 irf create 命令建⽴脉冲响应⽅程，然后使⽤ irf graph 命令对脉冲响应结果画图。
. quietly var inflation unrate ffr, lags(1/6) dfk small
. irf create var1, step(20) set(myirf) replace
(file myirf.irf now active)
(file myirf.irf updated)
. irf graph oirf, impulse(inflation unrate ffr) response(inflation unrate ffr)
> yline(0,lcolor(black)) xlabel(0(4)20) byopts(yrescale)在跑出 VAR 之后，irf create 命令会创建⼀个 .irf ⽂件来保存 VAR 模型的结果。多个不同的 VAR 结果会被分别保存在不同的⽂件那个，因此我们需要给每个 VAR 命名，在我们的例⼦中我们命名为 var1 。 set( ) 选项给 .irf’ ⽂件命名并将该⽂件设置为“活动的”。.irf’ ⽂件将在之后的分析中使⽤。 step(20) 选项则指定 irf create 命令去获得 20 期的脉冲响应结果。
irf graph 命令根据 .irf’ ⽂件中的某些统计量画图。在该⽂件中的众多统计量中，我们对正交脉冲响应⽅程最感兴趣，因此我们在 irf graph 命令后指定 oirf。impulse( ) 和 response( ) 选项则分别指定对以
哪些⽅程为⾃变量的⽅程造成冲击，以及对哪些变量需要绘图，这⾥我们将对所有变量进⾏冲击并绘图，脉冲响应图如下：u t ϵ=t Au t E (u u )=t t ′I
ΣΣΣ=E (ϵϵ)=t t ′E (Au u A )=t t ′′AE (u u )A =t t ′
′AA ′
Σ
^A ^=Σ^A ^A ′^(1)A A A ΣA A A
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