过定点或定斜率的直线，分别交椭圆于M，N两点时，平面上可能存在某点P，使得直线PM，PN的斜率和为定值。（一线定两线） 22
1
43
x y
+=，若斜率为
1
2的直线l与椭圆M
交于C、D两点，点
3
(1)
2
P，为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为1k，直线PD的斜率
为2k，试问：12
苔丝论文k k+是否为定值？请证明你的结论.
（2）已知椭圆
2
2
:1
4
x
C y+=，过点(1,1)
M-的动直线l与椭圆C相交于A，B两点.
已知N为椭圆C的上顶点，证明NA NB
k k+为定值.【课堂例题】
例1：（2019·四川高三月考（文））已知椭圆C：
22
22
1拉瓦锡之死
x y
a b
+=，（a＞b＞0）过点（1，
3
2）
且离心率为3 2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的右顶点为P，过定点（2，﹣1）的直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于异于点P的A，B两点，若直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值．
解析几何系列小专题8：两线定一线一线定两线
例2：（2019·福建高考模拟（文））已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左焦点为()1,0F -，
过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为3.（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点()4,0M -，过F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，证明：FMA FMB ∠=∠.
例3：（2020·内蒙古高三期末（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率2
e =，
且圆222x y +=过椭圆C 的上，下顶点.（1）求椭圆C 的方程.（2）若直线l 的斜率为1
2
，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于原点的对称点为E ，点()2,1A
-是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求
出此定值：如果不是，请说明理.
例4：（2019·福建高二期末（理））在直角坐标系xOy 中，()()2,0,2,0A B -，不在x 轴上的动点C 满足,AC BC CD AB ⊥⊥于点,D P 为CD 的中点。(1)求点P 的轨迹E 的方程；
(2)设曲线E 与y 轴正半轴的交点为H ，斜率为
1
2
的直线交E 于,M N 两点，记直线,MH BN 的斜率分别为12,k k ，试问12k k +是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说
明理由。
例5：（2019·湖南长沙一中高考模拟（理））已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率12e =，
过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为3（1）求椭圆的方程；
（2）已知P 为直角坐标平面内一定点，动直线l ：1
2
y
x t =
+与椭圆交于A 、B 两点，当直线PA 与直线PB 的斜率均存在时，若直线PA 与PB 的斜率之和为与t 无关的常数，求出所有满足条件的定点P 的坐标.【配套习题】
1．（2019·四川成都七中高三月考（理））已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点分
别为())
水三相点瓶
12,F F ，以椭圆短轴为直径的圆经过点()1,0M .(1)求椭圆C 的方程;
(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，设点()3,2N ，直线,AN BN 的斜率分别为
12,k k ，问12k k +是否为定值?并证明你的结论.
2．
（2019·黑龙江双鸭山一中高二期中（理））已知动点M 到定点F 1（-2，0）和F 2（2，0）
的距离之和为（1）求动点M 轨迹C 的方程；
（2）设N （0，2），过点P （-1，-2）作直线l ，交椭圆C 于不同于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，问k 1+k 2是否为定值？若是的求出这个值．
3．（2019·石嘴山市第三中学高三月考（理））已知椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的焦距为
2，离心率为
2
，右顶点为A .（I ）求该椭圆的方程；
cssci期刊
（II ）过点D 作直线PQ 交椭圆于两个不同点P Q 、，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值.
4．（2019·江苏泰州中学高二期中）已知12,F F 分别是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、
右焦点，过2F 且不与x 轴垂直的动直线l 与椭圆交于,M N 两点，点P 是椭圆C 右准线上一点，连结,PM PN ，当点P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =.（1）求椭圆C 的离心率；
（2）当点P 的坐标为(2,1)时，求直线PM 与直线PN 的斜率之和.
5．（2018·上海市通河中学高二月考）椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=＞＞过点M （2，0），且
右焦点为F （1，0），过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．设点P （4，3），记PA 、
PB 的斜率分别为k 1和k 2．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如果直线l 的斜率等于-1，求出k 1•k 2的值；
（3）探讨k 1+k 2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k 1+k 2的取值范围．
6．（2019·赤峰二中高二月考）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为(1,0)F ，过F
的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．当l x ⊥轴时，ABM ∆的面积为2
.（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设直线AM 、BM 的斜率分别为1k 、2k ，证明：120k k +=.
7．（2019·湖北高三月考（文））已知椭圆Γ：22x a +2
2y b
=1（a ＞b ＞0）的长轴长为4，离心率
为
22
．（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）过P （1，0）作动直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，Q （4，3）为平面上一定点连接QA ，QB ，
设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，问k 1+k 2是否为定值，如果是，则求出该定值；否则，说明理由．
8．（2019·贵州高二期中（理））已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2
，且经过点()4,1M ，直线:l y x m =+交椭圆于不同的两点,A B ．（1）求椭圆的方程；（2）求m 的取值范围；
（3）若直线l 不过点M ，求证：直线,MA MB 的斜率互为相反数．
9．（2019·陕西高考模拟（理））已知点Q 是圆22(y 36:M x ++=上的动点，点N ，若线段QN 的垂直平分线MQ 于点P .(I)求动点P 的轨迹E 的方程
(II)若A 是轨迹E 的左顶点，过点D （-3，8）的直线l 与轨迹E 交于B ，C 两点，求证：直线AB 、AC 的斜率之和为定值.
10．（2019·山东师范大学附中高考模拟（文））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点
()0,1M -，长轴长是短轴长的2倍.
（1）求椭圆C 的方程；
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（2）设直线l 经过点()2,1N 且与椭圆C 相交于,A B 两点（异于点M ），记直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，证明：12k k +为定值，并求出该定值.
11．（2019·湖北高二期中（文））已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为
12(F F 、，点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
(1)求椭圆C 的方程；一个粗瓷大碗课文教案
(2)过点M (1,0)的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点N (3，2)，记直线AN 、BN 的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1+k 2为定值．
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