e^iθ = cosθ + isinθ
这个公式有个众所周知的特殊形式：e^iπ+1=0，把五个最常见的数学常数0,1,i,π,e组成了一个等式。
欧拉最初究竟是怎么想到这个公式的可能已很难确知，一般说法是在解一个特殊微分方程时发现了下列等式左右均为该方程的解：
2cosθ = e^iθ + e^i-θ
2sinθ = e^iθ - e^i-θ
具体欧拉是如何敏锐的发现等式右边是解，就不得而知了。
需要指出，欧拉时代的数学界对复数已经有一定认知，但还没建立完整的理论，这要到半个世纪后的高斯时代才完善。
对于√-1，古代波斯数学家花剌子米在解一元二次方程时就有发现负数开根号的问题，人们长期以来对比极为费解，称其为“诡辩量”，但又离不开它，比如文艺复兴时期的意大利数学家卡丹（三次方程求根公式的第二发明人）就表示“既不能理解负数开平方根，又能心安理得的使用它”。 防水之乡
笛卡尔正式将负数开平方命名为：虚数（imaginay number），意思是“想象中的数”，欧拉用首字母i来表示虚数单位元√-1，在那个时代，使用虚数/复数进行简单运算已经很普遍，但运用在指数上则是欧拉的首创。 对于当时的人来说，虚数本身就够抽象的了，放在指数上更加难以理解，实际上你已根本不可能通过直观的方式去“理解”，唯有彻底和“直观”说byebye，纯粹的通过数学推理去掌握才是最简单的方式。
据说当时另一个大数学家好像是拉格朗日表示不能理解，欧拉回了一封信，拉格朗日看后立刻就恍然大悟。欧拉给出了一个非常非常简明的证明，任何一个掌握微积分入门的极限知识的高三或大一学生能应该可以理解。
丙烯酸甲氧基乙酯需要指出欧拉的证明确实是对的，但不够严谨，因为严谨的微积分语言要等到一百年后的柯西和魏尔斯特拉斯。
欧拉给出的证明如下：
令α=θ/n，根据德莫夫定理，有：
cosθ+isinθ =（cosα+isinα）光棍儿电影下载ⁿ
令n趋于∞，则α趋于0，此时cosα趋于1，sinα趋于α，于是：
cosθ+isinθ =（cosα+isinα）ⁿ
=（1+iα）ⁿ =（1+iθ/n）ⁿ
令δ=1/n，由于δ趋于0，根据二项式定理知道（1+δ）^k 趋于 1+kδ，令k=iθ，则有：
cosθ+isinθ
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=（cosα+isinα）武林风阳阳ⁿ
=（1+iα）ⁿ
=（1+iθ/n）ⁿ
改变自己与改变世界=（（1+δ）^iθ）ⁿ
= （（1+1/n）ⁿ）^iθ
= e^iθ
证毕。
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