【摘要】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市一些高考题可以用拉格朗日中值定理来解答.本文归纳了可用拉格朗日中值定理解决的四类题型，再通过一些具体的高考试题，体现高观点解题的好处.
【关键词】拉格朗日中值定理 高考题 高观点
引言
新课程中，高中数学新增加了许多近、现代数学思想，这为中学数学传统的内容注入了新的活力，也为解决一些初等数学问题的方法提供了更多的选择．尤其在近几年在近几年的数学高考试题中，经常遇到一些题目，虽然可以利用中学的数学知识解决，但是在高等数学中往往能出相关的“影子”，也即所谓的“高观点”试题这样的试题或以高等数学知识为背景，或体现高等数学中常用的思想方法．这类试题常受到命题者的青睐，成为高考中一道亮丽的风景，其中不乏以拉格朗日中值定理为背景的高考试题．拉格朗日中值定理是利用导数的局部性研究函数整体性的重要工具，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，建立了函数值与导数值 之间的定量联系，因而可以用它来研究函数的性态． 拉格朗日中值定理是高考试题设置高等数学背景的一个热点素材.
一．拉格朗日中值定理[1]
拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件：
（i）在闭区间上连续；
（ii）在开区间内可导；
则在内至少存在一点，使得 .
几何意义：
在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线（如图）
二．求割线斜率大小-----------几何意义的利用
由拉格朗日中值几何意义可知:曲线上两点的割线斜率,可以转化为曲线上切线的斜率.即连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行.下面通过下题具体分析.
例1：（2011年福建省质检理19题）已知函数标志设计教案
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）设问是否存在实数，使得函数上任意不同两点连线的斜率都不小于？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
解（Ⅰ）略
（Ⅱ）当时，，假设存在实数，使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于，即对任意，都有即求任意两点割线斜率的大小，由中值定理知存在，有转为求切线斜率的大小.即陈颖异在上恒成立.（以下同参考答案）
评析：该题若用初等方法解决，构造函数同是本题的难点和突破口．将转化为转而考查函数，学生不是很容易想到， 但若利用拉格朗日中值定理，则只需求二次导函数在所给区间的最小值即可，学生易接受．
二． 利用拉格朗日中值定理证最值
（1）证或
-------------即证与的大小关系
例2：（2009年辽宁卷理21题）
已知函数
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）证明：若，则对任意，，有.
（Ⅰ）略；
（Ⅱ）要证成立，即证.
令，则.由于，所以.从而在恒成立.也即.又，，故.则，即，也即.
评注：这道题（Ⅱ）小题用初等方法做考虑函数.为什么考虑函数很多考生一下子不易想到.而且的放缩也不易想到.
（2）、证明或成立（其中，）
----------即证或
例3：（2007年高考全国卷I第20题）
设函数.[2]
（Ⅰ）证明：的导数；
（Ⅱ）证明：若对所有，都有 ，则的取值范围是.
（Ⅰ）略.
（Ⅱ）证明：（i）当时，对任意的，都有
(ii)当时，问题即转化为对所有恒成立.令，由拉格朗日中值定理知内至少存在一点（从而），使得，即，由于，故在上是增函数，让 得，所以的取值范围是.
评注：用的是初等数学的方法.即令，再分和 两种情况讨论.其中，又要去解方程.但这有两个缺点：首先，为什么的取值范围要以为分界展开.其次，方程求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦.
例医院阻尼器4：（2008年全国卷Ⅱ22题）
设函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围.
证明（Ⅰ）略；
（Ⅱ）证明：当时，显然对任何，都有；当时，
由拉格朗日中值定理，知存在，使得.由（Ⅰ）知中国图学学会，从而.令得，；令得，.所以在上，的最大值在 上，的最大值.从而函数在上的最大值是.知，当时，的最大值为16位ms-dos子系统.所以，的最大值.为了使恒成立，应有.所以的取值范围是.
评注：这道题的参考答案的解法是令,再去证明函数的最小值.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数,要对参数进行分类讨论;其次为了判断的单调性,还要求和的解,这个求解涉及到反余弦,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了高观点解题的优越性.
三．利用拉格朗日中值定理证不等式
在近几年的数学高考中，出现了不少含有拉格朗日中值定理的试题．常以不等式恒成立问题为基本切入点，具有一定的深度，既符合高考命题“能力立意”的宗旨，又突出了数学的学科特点，较好地甄别了学生的数学能力． 下面以近几年全国各地的数学高考试题为例，说明拉格朗日中值定理的不同形式在高考中不等式的应用，更好地体会用“高观点”解题的优势．
（1）用于证明与的大小关系
例5：(2006年四川卷理第22题) [3]
已知函数的导函数是，对任意两个不相等的正，证明：（Ⅱ）当时，.
证明： 由得，，令则由拉格朗日中值定理得：
下面只要证明：当时，任意,都有，则有，即证时，恒成立.这等价于证明的最小值大于.由，当且仅当时取到最小值，又，故时，恒成立.所以由拉格朗日定理得：.
评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性.
（2）证明，，三者大小的关系
例6：（2004年四川卷第22题）[3]重庆商场发生火灾
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）设，证明：.
证明（Ⅰ）略；
（Ⅱ）证明：依题意，有，
由拉格朗日中值定理得，
存在，使得
评注：对于不等式中含有的形式，我们往往可以把和，分别对和两次运用拉格朗日中值定理.
例7：(2006年四川卷理第22题)
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