第九章部分习题解答
9－2
解：取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为重力。如图（a）所示，假设重物的加速度的方向竖直向下，则重物的加速度竖直向上，两个重物惯性力为 （a）
该系统有一个自由度，假设重物有一向下的虚位移，则重物的虚位移竖直向上。由动力学普遍方程有 （a）
（b）
（c）
将(a)式、(c)式代入(b)式可得，对于任意有
（b）
方向竖直向下。
取重物为研究对象，受力如图（b）所示，由牛顿第二定律有
解得绳子的拉力。本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。 9－4
解：如图所示该系统为保守系统，有一个自由度，取为广义坐标。系统的动能为
地外生命
取圆柱轴线O所在的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为 拉格朗日函数，代入拉格朗日方程
整理得摆的运动微分方程为
。
9－6
解：如图所示，该系统为保守系统，有一个自由度，取弧坐标为广义坐标。系统的动能为
取轨线最低点O所在的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为
由题可知导盲仪，因此有。则拉格朗日函数
代入拉格朗日方程，整理得摆的运动微分方程为。解得质点的运动规律为，其中为积分常数。
9－13
导电胶解：1.求质点的运动微分方程
圆环（质量不计）以匀角速度绕铅垂轴AB转动，该系统有一个自由度，取角度为广义坐标。系统的动能为
如图所示，取为零势位，图示瞬时系统的势能为
则拉格朗日函数
代入拉格朗日方程，整理得质点的运动微分方程为
2.求维持圆环作匀速转动的力偶
如果求力偶，必须考虑圆环绕铅垂轴AB的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴AB匀速转动”这一约束，将力偶视为主动力。此时系统有两个自由度，取角度和圆环绕轴AB的转角为广义坐标，系统的势能不变，动能表达式中以代替，则拉格朗日函数为
力偶为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，在这组虚位移下力偶所做的虚功为，因此力偶对应于广义坐标的广义力；取，在这组虚位移下力偶新词儿所做的虚功为，因此力偶对应于广义坐标的广义力。
代入拉格朗日方程，整理可得
代入拉格朗日方程，整理可得
圆环绕铅垂轴AB以匀速转动，即，代入上式可得。
9－14
解： 以刚体为研究对象，有一个自由度。如图（a）所示，取和OC的夹角为广义坐标。若以框架为动系，则刚体的相对运动是以角速度绕轴的定轴转动，牵连运动是以角速度绕轴的定轴转动，绝对角速度是和的矢量和。以为轴，为轴，建立一个固连在刚体上的坐标系，该刚体的角速度可表示成 （a） （b）
由于坐标系的三个坐标轴为过点的三个惯量主轴，则系统的动能为
取为零势位，图示瞬时系统的势能为，则拉格朗日函数
代入拉格朗日方程，整理可得物体的运动微分方程为
赤道银行9－15
解：框架（质量不计）以匀角速度绕铅垂边转动，系统有一个自由度，取AB杆与铅垂边的夹角为广义坐标。若以框架为动系，AB杆上任意一点的速度是该点相对于框架的相对速度和随框架运动的牵连速度的矢量和，且相对速度和牵连速度相互垂直, 因此杆AB的动能可表示为相对于框架运动的动能和随框架转动的动能之和。如图所示，AB杆相对于框架作平面运动，“速度瞬心”为O点，设AB杆的质心为C，由几何关系可知，则质心为C的速度大小为。杆集团税务筹划难度AB相对于框架运动的动能
杆AB随框架转动的动能
系统的动能。
假设时杆势能为零，则任意位置系统的势能为。则拉格朗日函数
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