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达朗伯原理能将动力学问题转化为静力学问题，虚位移原理 是分析静力学的普遍原理；因而，两者结合就能导出分析动力学
的普遍方程。对完整系统，拉格朗日方程是实用的建立动力学方 程的方法。
§18-1 动力学普遍方程
质系由n 个质点组成。根据达朗伯原理，在每个质点的主动
力F i 、约束力及惯性力平衡。再根据虚位移原理， 它们在质系虚位移上元功之和应为零。即
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对受理想约束系统
有
(18-1)
上式称为达朗伯-拉格朗日原理或动力学普遍方程，其直角坐
标表达式为
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(18-2)
例18-1 动滑轮上悬挂重物质量为，另一重物质量为，
忽略轮、绳的质量及轮轴摩擦，求下降的加速度。
解：（1）考虑整个系统为研究对象，系统具有理想约束，
主动力为重力g及g。引入假想的惯性
力F g1及 F g2，方向如图，其大小为
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则系统平衡。
（2）给系统以虚位移及，则由
动力学普遍方程(18-2) 有
系统具有一个自由度，由约束关系
代入上式
，故有
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例18-2 二均质轮的，
求在重力作用下轮Ⅱ中心的加速度。
解：（1）解法一：考虑整个系统，引
入惯性力F g及惯性力偶，
大小为, ,
其中，，为轮Ⅱ中心的加速度及二轮的
角加速度。
由动力学普遍方程
由约束关系有
,①代入上式
系统有二自由度，与相互独立，故有
,
解之得
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（2）解法二：加惯性力后，按下法给虚位移。
令，，计算虚功(考虑约束关系)
∴
令，，计算虚功
∴
与前面一样可解出
§18-2 拉格朗日方程
1. 动力学普遍方程在广义坐标中的表达式
设系统的广义坐标为，则有
（18-3）
（18-4）
代入动力学普遍方程（18-1）
引入 ,
（18-5）
其中按第十七章称为广义力；仿此，称为广义惯性力。
∴
受完整约束的系统中，相互独立，上式中前的系数必为零。
∴
（18-6）
这就是动力学普遍方程在广义坐标中的表达式，其文字表达式为：广义力与广义惯性力相平衡。2012上海高考数学
2. 拉格朗日方程
进一步研究的表达式（18-5）。由式（18-3）得
（18-7）
用直接代入法可以证明下述关系式成立
,
（18-8）
上二式称为拉格朗日关系式，它们在下面的推导中起重要作用。
引入质系动能
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