拉丁方与正交拉丁方的应用和构造

刘秀梅

【摘要】引入拉丁方的概念,介绍了拉丁方和正交拉丁方在实际中的应用,并给出它们的构造方法.

【期刊名称】宁德师范学院学报（自然科学版）

组织结构

【年(卷),期】2010(022)004

【总页数】3

【关键词】姬诚拉丁方;正交拉丁方;构造;应用

组合数学是一门很古老的学科,人们对它的兴趣和研究颇早,它起始于数学游戏,例如中国古代的游戏九连环,起初只是研究娱乐或审美要求所涉及的组合问题.近代随着计算机的出现,组合数学这门学科得到了迅猛的发展,成为了一个重要的数学分支.拉丁方和正交拉丁方是组合数学中的一个重要课题,在实际应用中有着重要的作用.

1 拉丁方和正交拉丁方

定义 1 由 1，2，…，n 构成的 n×n 方阵(aij）n×n,要求每行及每列 1，2，…,n 各出现一次,这样的方阵称为拉丁方.

定义 2 设 A1=（aij（1））n×n，A2=（aij（2））n×n 是两个 n×n 的拉丁方.若矩阵（aij（1），aij（2））n×n 中的 n2 个数偶（aij（1），aij（2））互不相同，i，j=1，2，…，n，则称 A1和 A2正交,或称 A1和 A2是互相正交的拉丁方.

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形而上学唯物主义任意的正整数n都存在n阶拉丁方，但不是存在任意阶数的正交拉丁方.1782年,欧拉提出了一个著名的欧拉猜想——不存在n=4k+2阶的正交拉丁方,直到1900年法国的塔利证明了欧拉猜想n=6对是正确的,到1960年印度数学家玻等证明了对于2和6以外的其他4k+2型数欧拉猜想都不正确.

2 拉丁方和正交拉丁方的应用

拉丁方的应用起始于20世纪早期,它首先被人们作为平衡非完整块设计应用在统计分析中,拉丁方在实际应用中非常广泛.其中一个很重要的应用是合理安排实验.例如,1,2,3,4这4种品

牌的汽车轮胎磨损测试,若动用编号为A,B,C,D的4辆小汽车参加试验,由于同一牌子的轮胎在不同部位,不同车的磨损程度有差别,为了使试验次数少且均衡,可以安排如下：校园记趣

如果同时要考虑4种不同牌子的刹车车闸对车胎的磨损,则还要求4种车闸在4辆车及4个不同位置各出现一次.当然还要求不同牌子的轮胎和车闸恰好配合一次.车闸的实验安排如右：

上述两个矩阵为正交的拉丁方，则车轮与车闸的配合试验

可安排如下：

拉丁方在无线通信仿真设计中也有着很重要的作用.在无线通信系统设计中,仿真链路可变的参数种类繁多,而每种参数又可以取多个水平值,因此一个完备的遍历考察有巨大数目的状态空间,仿真评估往往成为不可能完成的任务.利用正交拉丁方均匀搭配不同参数和各种取值,组成特定的考核状态空间,使得工作量呈几何级数下降,仅用较少的实验次数就能够达到近似于全遍历状态空间的效果.[1]

此外,拉丁方还可用于工作分配、信息处理、安排循环赛程，甚至应用于大型并行系统的处理器调度.

3 拉丁方与正交拉丁方的构造

拉丁方的构造很容易，只要调换任意两个数字的位置或把每一行由前一行循环置换即可得到.下面主要讨论正交拉丁方的构造.

3.1 求给定n阶拉丁方的正交侣

定义3 由1，2，…，n构成的n阶拉丁方A中，若n个两两不同行也不同列的位置上出现了所有的数字，则称这n个位置是一个截态.若A有n个两两无公共位置的截态,则称A有个截态分解.[2]

对于一个拉丁方，“有截态分解”和“有正交侣”是等价的.设n阶拉丁方A的n个两两无公共位置的截态分别是T1，T2，…，Tn把截态Ti的元改为i.i=1，2，…，n.得到的矩阵B即为A的正交侣.

在上述矩阵A即有截态分解,T1用*表示,T2用d表示,T3用w表示,T4用Δ表示,则可得Α的正交侣Β为：

3.2 对给定阶数n求一组正交拉丁方

若n=Pa,且n≥3，其中P是一个素数，a是正整数,则存在n-1个互相正交的n阶拉丁方.例如,4,5,7,8,9等阶数的拉丁方,此类拉丁方可以用以下方法构造正交拉丁方:

设 F=｛a1 ，a2，…，an ｝是有限域，其中 an=0,则 n-1 个相互正交的拉丁方如下,设 Ak=，k=1，2，…，n-1.a ij(k)=ak▯ai+aj，i，j=1，2，…，n，k=1，2，…，n-1.其中,“+”和“g”分别是域的“加”和“乘”法运算.

下面以构造4阶的正交拉丁方为例：

设 F=｛1，a，1+a=a2，0 ｝,则可得：

阶数较高的正交拉丁方可用以下方法由阶数低的正交拉丁方得到：

定理1 设A1，A2是一对m阶的正交拉丁方,B1，B2是另一对n阶的正交拉丁方，则

是一对mn阶的正交拉丁方.例如,15阶正交拉丁方可用3阶和5阶正交拉丁方构成.对于正交拉丁方的构造,人们想出了各种各样的方法，其他方法可见文献[1][5][7].

参考文献：

[1]刘栋,周卢涛.正交拉丁方在无线通信仿真中的应用 [J].计算机仿真,2002（5）：143-146.

[2]康庆德.拉丁方和正交拉丁方 [J].自然杂志,1987（9）：605-610.

[3]卢开澄,卢华明.组合数学 [M].北京：清华大学出版社,2006.

[4]屈寅春,毛珍玲等.优美的均衡组合结构—从均衡组合问题谈正交拉丁方 [J].无锡职业学院学报,2010（9）:56-58.gb2626一2006

[5]林淑飞.一种双偶数阶正交拉丁方的构造方法[J].云南民族大学学报,2010(9):265-268.

[6]丁颂康.对称拉丁方的正交性和一类赛程安排问题 [J].上海海运学报,2002（3）：82-85.

[7]陶照民.偶阶幻方和奇阶正交拉丁方的构造方法 [J].应用数学学报,1983（3）:276-281.

E-mail：meililiumei@163

【文献来源】www.zhangqiaokeyan/academic-journal-cn_journal-ningde-normal-university-natural-science_thesis/0201250218994.html

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